Encontre a área entre as curvas.
y=x^2+x e y=-3 x-3

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas
y = x^2 + x
e
y = -3x - 3
O conteúdo aqui é cálculo de área entre curvas, que exige:
  1. Encontrar os pontos de interseção das funções.
  2. Determinar qual função fica por cima no intervalo de interseção.
  3. Montar e calcular a integral da diferença entre as funções.

Passo 2

Para achar os pontos de interseção, igualamos
x^2 + x = -3x - 3
e obtemos
x^2 + 4x + 3 = 0 Longrightarrow (x+1)(x+3)=0
Logo, os pontos de interseção são
x = -1 e x = -3

Passo 3

Precisamos saber qual curva está acima no intervalo -3 <= x <= -1. Tomando x=-2, por exemplo:
yparábola = (-2)^2+(-2)=4-2=2, á
yreta = -3(-2)-3=6-3=3
Como 3>2, a reta y=-3x-3 está acima da parábola y=x^2+x nesse intervalo.

Passo 4

A área pedida é
integralx=-3^x=-1l[l(-3x-3r)-l(x^2+xr)r],dx =integral-3^-1l(-x^2-4x-3r),dx

Passo 5

Calculamos uma primitiva de -x^2-4x-3:
integrall(-x^2-4x-3r),dx =-x^33-2x^2-3x + C
Agora avaliamos de -3 a -1:
[-x^33-2x^2-3x]-3^-1 =l(-tfrac(-1)^33-2cdot(-1)^2-3cdot(-1)r) -l(-tfrac(-3)^33-2cdot(-3)^2-3cdot(-3)r)
No numerador:
--13-2cdot1+3=13-2+3=43,
no denominador:
--273-2cdot9+9=9-18+9=0
Portanto a área é tfrac43.

Resposta

A área entre as curvas é 43.

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