Em cada uma das questões de 1 a 4, encontre a equação característica e determine a solução geral da equação diferencial de segunda ordem ou a solução do problema de valor inicial dados.
Caso: raízes complexas.
y^prime prime+2 y^prime-8 y=0.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a equação característica e a solução geral da equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 2y' - 8y = 0
O conteúdo é a resolução de EDOs lineares homogêneas de segunda ordem assumindo soluções da forma exponencial.

Passo 2

Assumimos uma solução do tipo
y(x)=e^r x,
onde r é uma constante a determinar. Calculamos
y'(x)=r e^r x, y''(x)=r^2 e^r x,
e substituímos na equação diferencial.

Passo 3

Ao substituir, obtemos
r^2 e^r x + 2r e^r x - 8 e^r x = 0
e, como e^r xneq0, chegamos à equação característica
r^2 + 2r - 8 = 0

Passo 4

Resolvendo a equação
r^2 + 2r - 8 = 0
usamos a fórmula de Bhaskara com a=1, b=2, c=-8:
De<a = b^2 - 4ac = 4 - 4cdot1cdot(-8) = 36,
r = -2 pm raiz362 = -2 pm 62 Longrightarrow r1 = 2,;;r2 = -4

Passo 5

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da EDO é
y(x) = C1 e^r1 x + C2 e^r2 x = C1 e^2x + C2 e^-4x,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Resposta

Equação característica: r^2+2r-8=0, r1=2,;r2=-4 çãí
Solução >=ral: y(x)=C1 e^2x + C2 e^-4x çã

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