Em cada uma das questões de 1 a 4, encontre a equação característica e determine a solução geral da equação diferencial de segunda ordem ou a solução do problema de valor inicial dados.
Caso: duas raizes reais distintas.
y^prime prime+2 y^prime-3 y=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem: y'' + 2y' - 3y = 0 . O conteúdo que vamos usar aqui é sobre equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, precisamos encontrar a equação característica e, a partir daí, determinar a solução geral da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação característica. Quando temos uma equação diferencial como essa, assumimos que a solução tem a forma y = e^rx , onde r é uma constante que precisamos descobrir. Ao substituir y = e^rx na equação diferencial, obtemos a equação característica.
Nossa equação diferencial é:
y'' + 2y' - 3y = 0
Substituindo y = e^rx :
r^2 e^rx + 2r e^rx - 3 e^rx = 0
Podemos dividir tudo por e^rx (já que e^rx nunca é zero):
r^2 + 2r - 3 = 0
Essa é a nossa equação característica.

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação característica r^2 + 2r - 3 = 0 para encontrar os valores de r . Trata-se de uma equação quadrática, então podemos usar a fórmula de Bhaskara:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Aqui, a = 1 , b = 2 e c = -3 . Substituindo:
r = -2 pm raiz(2)^2 - 4(1)(-3)2(1)
r = -2 pm raiz4 + 122
r = -2 pm raiz162
r = -2 pm 42
Portanto, as soluções são:
r1 = -2 + 42 = 1
r2 = -2 - 42 = -3

Passo 4

Como encontramos duas raízes reais e distintas ( r1 = 1 e r2 = -3 ), a solução geral da equação diferencial é dada por:
y(x) = C1 e^r1 x + C2 e^r2 x
Onde C1 e C2 são constantes que dependem das condições iniciais do problema.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = C1 e^x + C2 e^-3x

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