Em cada uma das questões de 1 a 4, encontre a equação característica e determine a solução geral da equação diferencial de segunda ordem ou a solução do problema de valor inicial dados.
Caso: duas raizes reais distintas.
.
Caso: duas raizes reais distintas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem:
. O conteúdo que vamos usar aqui é sobre equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, precisamos encontrar a equação característica e, a partir daí, determinar a solução geral da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação característica. Quando temos uma equação diferencial como essa, assumimos que a solução tem a forma
, onde
é uma constante que precisamos descobrir. Ao substituir
na equação diferencial, obtemos a equação característica.
Nossa equação diferencial é:
Substituindo
:
Podemos dividir tudo por
(já que
nunca é zero):
Essa é a nossa equação característica.
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação característica
para encontrar os valores de
. Trata-se de uma equação quadrática, então podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
. Substituindo:
Portanto, as soluções são:
Passo 4
Como encontramos duas raízes reais e distintas (
e
), a solução geral da equação diferencial é dada por:
Onde
e
são constantes que dependem das condições iniciais do problema.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: