Em cada uma das questões de 1 a 4, encontre a equação característica e determine a solução geral da equação diferencial de segunda ordem ou a solução do problema de valor inicial dados.
Caso: duas raizes reais distintas.
y^prime prime-3 y^prime+2 y=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é resolver uma equação diferencial de segunda ordem, que é tipo uma equação que envolve a segunda derivada de uma função. O exercício nos dá a equação y'' - 3y' + 2y = 0 e pede para encontrar a equação característica e depois a solução geral dela, considerando que temos duas raízes reais e distintas. Para resolver isso, vamos precisar usar o método das equações características.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação característica. Para uma equação diferencial da forma y'' + a y' + b y = 0 , a gente assume uma solução do tipo y = e^r x . Ao substituir essa forma na equação diferencial, acabamos com uma equação em termos de r , que é chamada de equação característica.

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso, temos y'' - 3y' + 2y = 0 . Substituindo y = e^r x na equação, ficamos com:
r^2 e^r x - 3r e^r x + 2 e^r x = 0
Como e^r x nunca é zero, podemos dividir os dois lados por ele:
r^2 - 3r + 2 = 0
Essa é a nossa equação característica.

Passo 4

Agora, vamos resolver a equação quadrática r^2 - 3r + 2 = 0 para encontrar as raízes. Podemos fatorar essa equação:
(r - 1)(r - 2) = 0
Então, as raízes são r1 = 1 e r2 = 2 . Como são raízes reais e distintas, sabemos que a solução geral da equação diferencial será uma combinação linear das soluções associadas a cada raiz.

Passo 5

A solução geral para o caso de duas raízes reais e distintas r1 e r2 é:
y(x) = C1 e^r1 x + C2 e^r2 x
Onde C1 e C2 são constantes que a gente determina com condições iniciais, se tiver.

Resposta

A solução geral da equação diferencial y'' - 3y' + 2y = 0 é:
y(x) = C1 e^x + C2 e^2x
Onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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