Em cada uma das questões de 1 a 4, encontre a equação característica e determine a solução geral da equação diferencial de segunda ordem ou a solução do problema de valor inicial dados.
Caso: duas raizes reais distintas.
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Caso: duas raizes reais distintas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é resolver uma equação diferencial de segunda ordem, que é tipo uma equação que envolve a segunda derivada de uma função. O exercício nos dá a equação
e pede para encontrar a equação característica e depois a solução geral dela, considerando que temos duas raízes reais e distintas. Para resolver isso, vamos precisar usar o método das equações características.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação característica. Para uma equação diferencial da forma
, a gente assume uma solução do tipo
. Ao substituir essa forma na equação diferencial, acabamos com uma equação em termos de
, que é chamada de equação característica.
Passo 3
Aplicando isso ao nosso caso, temos
. Substituindo
na equação, ficamos com:
Como
nunca é zero, podemos dividir os dois lados por ele:
Essa é a nossa equação característica.
Passo 4
Agora, vamos resolver a equação quadrática
para encontrar as raízes. Podemos fatorar essa equação:
Então, as raízes são
e
. Como são raízes reais e distintas, sabemos que a solução geral da equação diferencial será uma combinação linear das soluções associadas a cada raiz.
Passo 5
A solução geral para o caso de duas raízes reais e distintas
e
é:
Onde
e
são constantes que a gente determina com condições iniciais, se tiver.
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.