Determine a solução geral da equação diferencial dada
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial que é
. Esse exercício faz parte do estudo de equações diferenciais ordinárias de ordem superior. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como lidar com derivadas de alta ordem e como encontrar a solução geral usando polinômios característicos. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para ficar mais clara:
Aqui,
significa a sexta derivada de
em relação a
, e
é a segunda derivada. Nosso objetivo é encontrar todas as funções
que satisfazem essa equação.
Passo 3
Para resolver essa equação diferencial, vamos assumir que a solução tem a forma de uma função exponencial:
Onde
é um número que precisamos determinar. Essa é uma técnica comum chamada método das equações características.
Passo 4
Agora, vamos derivar
para encontrar
e
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Segunda derivada já está ligada ao termo
na nossa equação original.
Continuando até a sexta derivada:
Passo 5
Substituímos
e
na equação original:
Podemos fatorar
:
Como
nunca é zero, a equação se reduz a:
Passo 6
Vamos resolver
:
Factorando:
Isso nos dá duas partes:
-
⟹ (com multiplicidade 2) -
⟹
Para
, as raízes são:
Passo 7
Agora, temos todas as raízes:
-
(dupla) -
-
-
-
Cada raiz corresponde a uma solução da equação diferencial. Quando temos raízes repetidas ou complexas, precisamos ajustar a forma das soluções.
Passo 8
Vamos escrever as soluções correspondentes a cada raiz:
- Para
(dupla):
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 9
A solução geral da equação diferencial é a combinação linear de todas essas soluções:
Onde
e
são constantes arbitrárias que serão determinadas pelas condições iniciais, se houver.
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
Onde
e
são constantes reais.