Determine a solução geral da equação diferencial dada
y^v i-y^prime prime=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial que é y^(6) - y'' = 0 . Esse exercício faz parte do estudo de equações diferenciais ordinárias de ordem superior. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como lidar com derivadas de alta ordem e como encontrar a solução geral usando polinômios característicos. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para ficar mais clara:
y^(6) - y'' = 0
Aqui, y^(6) significa a sexta derivada de y em relação a x , e y'' é a segunda derivada. Nosso objetivo é encontrar todas as funções y(x) que satisfazem essa equação.

Passo 3

Para resolver essa equação diferencial, vamos assumir que a solução tem a forma de uma função exponencial:
y = e^rx
Onde r é um número que precisamos determinar. Essa é uma técnica comum chamada método das equações características.

Passo 4

Agora, vamos derivar y para encontrar y'' e y^(6) :
Primeira derivada:
y' = r e^rx
Segunda derivada:
y'' = r^2 e^rx
Segunda derivada já está ligada ao termo y'' na nossa equação original.
Continuando até a sexta derivada:
y^(6) = r^6 e^rx

Passo 5

Substituímos y^(6) e y'' na equação original:
r^6 e^rx - r^2 e^rx = 0
Podemos fatorar e^rx :
e^rx (r^6 - r^2) = 0
Como e^rx nunca é zero, a equação se reduz a:
r^6 - r^2 = 0

Passo 6

Vamos resolver r^6 - r^2 = 0 :
Factorando:
r^2 (r^4 - 1) = 0
Isso nos dá duas partes:
  1. r^2 = 0 r = 0 (com multiplicidade 2)
  2. r^4 - 1 = 0 r^4 = 1
Para r^4 = 1 , as raízes são:
r = pm 1, pm i

Passo 7

Agora, temos todas as raízes:
  • r = 0 (dupla)
  • r = 1
  • r = -1
  • r = i
  • r = -i
Cada raiz corresponde a uma solução da equação diferencial. Quando temos raízes repetidas ou complexas, precisamos ajustar a forma das soluções.

Passo 8

Vamos escrever as soluções correspondentes a cada raiz:
  1. Para r = 0 (dupla):
y1 = 1
y2 = x
  1. Para r = 1 :
y3 = e^x
  1. Para r = -1 :
y4 = e^-x
  1. Para r = i :
y5 = cos(x)
  1. Para r = -i :
y6 = sin(x)

Passo 9

A solução geral da equação diferencial é a combinação linear de todas essas soluções:
y(x) = C1 + C2 x + C3 e^x + C4 e^-x + C5 cos(x) + C6 sin(x)
Onde C1, C2, C3, C4, C5, e C6 são constantes arbitrárias que serão determinadas pelas condições iniciais, se houver.

Resposta

A solução geral da equação diferencial y^(6) - y'' = 0 é:
y(x) = C1 + C2 x + C3 e^x + C4 e^-x + C5 cos(x) + C6 sin(x)
Onde C1, C2, C3, C4, C5, e C6 são constantes reais.

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