Resolva o integral a seguir utilizando 10 subintervalos com a regra do trapézio (composta) e calcule o erro absoluto e relativo a partir do resultado analitico.
integral0^2 5 x^4-x^3+4 X^2-2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse integral que é integral0^2 (5x^4 - x^3 + 4x^2 - 2) , dx usando a regra do trapézio composta com 10 subintervalos. A gente vai precisar entender como aplicar essa regra para aproximar a área sob a curva e depois comparar com o resultado exato para encontrar os erros absoluto e relativo.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir o intervalo de integração, que vai de 0 a 2, em 10 subintervalos iguais. Isso significa que cada subintervalo terá um tamanho h :
h = b - an = 2 - 010 = 0,2
Então, os pontos onde vamos calcular a função são x0 = 0 , x1 = 0,2 , x2 = 0,4 , e assim por diante até x10 = 2 .

Passo 3

Agora, vamos calcular o valor da função f(x) = 5x^4 - x^3 + 4x^2 - 2 em cada um desses pontos:
f(0) &= 5(0)^4 - (0)^3 + 4(0)^2 - 2 = -2 f(0,2) &= 5(0,2)^4 - (0,2)^3 + 4(0,2)^2 - 2 approx -1,824 f(0,4) &= 5(0,4)^4 - (0,4)^3 + 4(0,4)^2 - 2 approx -1,8784 f(0,6) &= 5(0,6)^4 - (0,6)^3 + 4(0,6)^2 - 2 approx -1,7584 f(0,8) &= 5(0,8)^4 - (0,8)^3 + 4(0,8)^2 - 2 approx -1,4208 f(1,0) &= 5(1)^4 - (1)^3 + 4(1)^2 - 2 = 5 - 1 + 4 - 2 = 6 f(1,2) &= 5(1,2)^4 - (1,2)^3 + 4(1,2)^2 - 2 approx 16,5888 f(1,4) &= 5(1,4)^4 - (1,4)^3 + 4(1,4)^2 - 2 approx 26,7904 f(1,6) &= 5(1,6)^4 - (1,6)^3 + 4(1,6)^2 - 2 approx 40,9984 f(1,8) &= 5(1,8)^4 - (1,8)^3 + 4(1,8)^2 - 2 approx 61,4784 f(2) &= 5(2)^4 - (2)^3 + 4(2)^2 - 2 = 80 - 8 + 16 - 2 = 86

Passo 4

Agora, aplicamos a regra do trapézio composta. A fórmula é:
Integral approx h2 [ f(x0) + 2 sumi=1^n-1 f(xi) + f(xn) ]
Substituindo os valores:
Integral &approx 0,22 [ (-2) + 2(-1,824 -1,8784 -1,7584 -1,4208 +6 +16,5888 +26,7904 +40,9984 +61,4784) + 86 ] &= 0,1 [ -2 + 2(86,1528) + 86 ] &= 0,1 [ -2 + 172,3056 + 86 ] &= 0,1 times 256,3056 &approx 25,63056

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral de forma analítica para ter o valor exato. Integrando f(x) :
integral (5x^4 - x^3 + 4x^2 - 2) , dx = x^5 - x^44 + 4x^33 - 2x + C
Calculando de 0 a 2:
F(2) - F(0) &= (2^5 - 2^44 + 4 cdot 2^33 - 2 cdot 2 ) - 0 &= (32 - 4 + 323 - 4) &= 24 + 323 &= 1043 approx 34,6667

Passo 6

Por fim, vamos calcular os erros absoluto e relativo.
Erro Absoluto &= |Integral Aproximada - Integral Exata| &= |25,63056 - 34,6667| &approx 9,0361 Erro Relativo &= Erro Absoluto|Integral Exata| times 100% &= 9,036134,6667 times 100% &approx 26,11%

Resposta

A aproximação da integral usando a regra do trapézio composta com 10 subintervalos é aproximadamente 25,63. O erro absoluto é de aproximadamente 9,04 e o erro relativo é de cerca de 26,11%.

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