Os valores da função são conhecidos nos pontos tabelados:
x
0
3.0000
0.225403330758517
2.8990
0.25
2.8760
0.5
2.5313
0.75
2.1123
1
2.0000
1.25
2.9268
1.5
6.0938
1.75
13.2881
1.77459666924148
14.3010
2
27.0000
Calcule o resultado da integral utilizando os seguintes métodos e número de pontos:
Trapézio, 3 pontos;
Sabendo que o resultado analítico da função é . Calcule o erro relativo em cada letra e comente o resultado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral de no intervalo de 0 a 2 usando a regra dos trapézios com 3 pontos. A função está tabelada em vários pontos entre 0 e 2. Para resolver isso, vamos usar a Regra dos Trapézios, que é um método de aproximação para integrais. Precisamos entender como aplicar essa regra com 3 pontos específicos e depois comparar o resultado com o valor exato da integral para calcular o erro relativo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a Regra dos Trapézios. Quando usamos essa regra com 3 pontos, estamos essencialmente dividindo o intervalo de integração em 2 subintervalos iguais. Cada subintervalo será representado por um trapézio, e a área total será a soma das áreas desses trapézios.
Passo 3
Vamos identificar os 3 pontos que vamos usar na regra dos trapézios. Como estamos integrando de 0 a 2 e queremos 3 pontos, os pontos serão:
Esses pontos dividem o intervalo em dois subintervalos: [0,1] e [1,2].
Passo 4
Agora, vamos anotar os valores de nesses pontos:
Passo 5
A fórmula da Regra dos Trapézios para 3 pontos (2 subintervalos) é:
onde é a largura de cada subintervalo.
Passo 6
Vamos calcular :
Aqui, porque temos 2 subintervalos.
Passo 7
Agora, vamos aplicar os valores na fórmula:
Então, a aproximação pelo método dos trapézios com 3 pontos é 17.
Passo 8
Sabemos que o resultado analítico da integral é , que é aproximadamente 11.3333.
Agora, vamos calcular o erro relativo. A fórmula do erro relativo é:
Passo 9
Aplicando os valores:
Erro Relativo = | 17 - 343343 | times 100% = | 17 - 11.333311.3333 | times 100% approx | 5.666711.3333 | times 100% approx 50%
Resposta
Usando a Regra dos Trapézios com 3 pontos, a integral aproximada de integral0^2 f(x) dx é 17. Comparando com o valor exato 343 (aproximadamente 11.3333), o erro relativo é de aproximadamente 50%.