Os valores da função f(x)=y são conhecidos nos pontos tabelados:
x f(x)
0 3.0000
0.225403330758517 2.8990
0.25 2.8760
0.5 2.5313
0.75 2.1123
1 2.0000
1.25 2.9268
1.5 6.0938
1.75 13.2881
1.77459666924148 14.3010
2 27.0000
Calcule o resultado da integral integral0^2 f(x) d x utilizando os seguintes métodos e número de pontos:
Trapézio, 3 pontos;
Sabendo que o resultado analítico da função é integral0^2 f(x) d x=343. Calcule o erro relativo em cada letra e comente o resultado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral de f(x) no intervalo de 0 a 2 usando a regra dos trapézios com 3 pontos. A função f(x) está tabelada em vários pontos entre 0 e 2. Para resolver isso, vamos usar a Regra dos Trapézios, que é um método de aproximação para integrais. Precisamos entender como aplicar essa regra com 3 pontos específicos e depois comparar o resultado com o valor exato da integral para calcular o erro relativo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a Regra dos Trapézios. Quando usamos essa regra com 3 pontos, estamos essencialmente dividindo o intervalo de integração em 2 subintervalos iguais. Cada subintervalo será representado por um trapézio, e a área total será a soma das áreas desses trapézios.

Passo 3

Vamos identificar os 3 pontos que vamos usar na regra dos trapézios. Como estamos integrando de 0 a 2 e queremos 3 pontos, os pontos serão:
  • x0 = 0
  • x1 = 1
  • x2 = 2
Esses pontos dividem o intervalo em dois subintervalos: [0,1] e [1,2].

Passo 4

Agora, vamos anotar os valores de f(x) nesses pontos:
  • f(x0) = f(0) = 3.0000
  • f(x1) = f(1) = 2.0000
  • f(x2) = f(2) = 27.0000

Passo 5

A fórmula da Regra dos Trapézios para 3 pontos (2 subintervalos) é:
integrala^b f(x) dx approx h2 [f(x0) + 2f(x1) + f(x2)]
onde h é a largura de cada subintervalo.

Passo 6

Vamos calcular h :
h = b - an = 2 - 02 = 1
Aqui, n = 2 porque temos 2 subintervalos.

Passo 7

Agora, vamos aplicar os valores na fórmula:
integral0^2 f(x) dx approx 12 [3.0000 + 2 times 2.0000 + 27.0000] = 12 [3 + 4 + 27] = 12 times 34 = 17
Então, a aproximação pelo método dos trapézios com 3 pontos é 17.

Passo 8

Sabemos que o resultado analítico da integral é 343 , que é aproximadamente 11.3333.
Agora, vamos calcular o erro relativo. A fórmula do erro relativo é:
Erro Relativo = | Valor Aproximado - Valor ExatoValor Exato | times 100%

Passo 9

Aplicando os valores:
Erro Relativo = | 17 - 343343 | times 100% = | 17 - 11.333311.3333 | times 100% approx | 5.666711.3333 | times 100% approx 50%

Resposta

Usando a Regra dos Trapézios com 3 pontos, a integral aproximada de integral0^2 f(x) dx é 17. Comparando com o valor exato 343 (aproximadamente 11.3333), o erro relativo é de aproximadamente 50%.

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