Em cada uma das questões de 1 a 4, encontre a equação característica e determine a solução geral da equação diferencial de segunda ordem ou a solução do problema de valor inicial dados.
Caso: duas raîzes reais iguais.
4 y^prime prime+4 y^prime+y=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem: 4 y'' + 4 y' + y = 0. Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais lineares de coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar achar a equação característica e depois encontrar a solução geral baseada nas raízes dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação característica. Para uma equação diferencial da forma a y'' + b y' + c y = 0, a equação característica é dada por a r^2 + b r + c = 0. No nosso caso, a = 4, b = 4 e c = 1. Então, ficando:
4 r^2 + 4 r + 1 = 0

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação quadrática 4 r^2 + 4 r + 1 = 0 para encontrar as raízes. A gente usa a fórmula de Bhaskara:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Substituindo os valores:
r = -4 pm raiz16 - 168 = -4 pm raiz08 = -48 = -12
Então, temos duas raízes iguais: r = -12.

Passo 4

Como as duas raízes são reais e iguais, a solução geral da equação diferencial tem a forma:
y(x) = (C1 + C2 x) e^r x
Onde C1 e C2 são constantes arbitrárias. Substituindo r = -12:
y(x) = (C1 + C2 x) e^-12x

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = (C1 + C2 x) e^-12x

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