Em cada uma das questões de 1 a 4, encontre a equação característica e determine a solução geral da equação diferencial de segunda ordem ou a solução do problema de valor inicial dados.
Caso: duas raîzes reais iguais.
.
Caso: duas raîzes reais iguais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem:
. Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais lineares de coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar achar a equação característica e depois encontrar a solução geral baseada nas raízes dessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação característica. Para uma equação diferencial da forma
, a equação característica é dada por
. No nosso caso,
,
e
. Então, ficando:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação quadrática
para encontrar as raízes. A gente usa a fórmula de Bhaskara:
Substituindo os valores:
Então, temos duas raízes iguais:
.
Passo 4
Como as duas raízes são reais e iguais, a solução geral da equação diferencial tem a forma:
Onde
e
são constantes arbitrárias. Substituindo
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: