Em cada uma das questões de 1 a 4, encontre a equação característica e determine a solução geral da equação diferencial de segunda ordem ou a solução do problema de valor inicial dados.
Caso: duas raîzes reais iguais.
y^prime prime-2 y^prime+y=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem: y'' - 2y' + y = 0 . Isso faz parte do conteúdo de equações diferenciais lineares homogêneas. Para resolver, vamos precisar achar a equação característica e encontrar as raízes para determinar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação característica. Para uma equação diferencial da forma y'' + a y' + b y = 0 , a equação característica é r^2 + a r + b = 0 . No nosso caso, comparando com y'' - 2y' + y = 0 , temos a = -2 e b = 1 .

Passo 3

Agora, substituímos a e b na equação característica:
r^2 - 2r + 1 = 0
Essa é a nossa equação característica.

Passo 4

Vamos resolver a equação característica r^2 - 2r + 1 = 0 . Podemos fatorar da seguinte maneira:
(r - 1)^2 = 0
Então, temos uma raiz real dupla: r = 1 com multiplicidade 2.

Passo 5

Quando a equação característica tem duas raízes reais iguais, a solução geral da equação diferencial é:
y(x) = (C1 + C2 x) e^r x
Aqui, C1 e C2 são constantes que a gente determina com as condições iniciais, e r é a raiz da equação característica.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = (C1 + C2 x) e^x

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