Em cada uma das questões de 1 a 4, encontre a equação característica e determine a solução geral da equação diferencial de segunda ordem ou a solução do problema de valor inicial dados.
Caso: duas raîzes reais iguais.
.
Caso: duas raîzes reais iguais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
. Isso faz parte do conteúdo de equações diferenciais lineares homogêneas. Para resolver, vamos precisar achar a equação característica e encontrar as raízes para determinar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação característica. Para uma equação diferencial da forma
, a equação característica é
. No nosso caso, comparando com
, temos
e
.
Passo 3
Agora, substituímos
e
na equação característica:
Essa é a nossa equação característica.
Passo 4
Vamos resolver a equação característica
. Podemos fatorar da seguinte maneira:
Então, temos uma raiz real dupla:
com multiplicidade 2.
Passo 5
Quando a equação característica tem duas raízes reais iguais, a solução geral da equação diferencial é:
Aqui,
e
são constantes que a gente determina com as condições iniciais, e
é a raiz da equação característica.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: