Em cada uma das questões de 1 a 4, encontre a equação característica e determine a solução geral da equação diferencial de segunda ordem ou a solução do problema de valor inicial dados.
Caso: raízes complexas.
y^prime prime-2 y^prime+2 y=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial de segunda ordem: y'' - 2y' + 2y = 0 . Isso faz parte da matéria de Equações Diferenciais, especificamente lidando com equações lineares de coeficientes constantes. Para resolver essa equação, a gente vai precisar encontrar a equação característica e, a partir das raízes dessa equação, determinar a solução geral da equação diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar a equação diferencial em uma equação algébrica chamada equação característica. Para uma equação diferencial da forma y'' + a y' + b y = 0 , a equação característica é r^2 + a r + b = 0 . No nosso caso, a equação diferencial é y'' - 2y' + 2y = 0 , então os coeficientes são a = -2 e b = 2 . Assim, a equação característica é:
r^2 - 2r + 2 = 0

Passo 3

Agora, vamos encontrar as raízes dessa equação quadrática. Para isso, usamos a fórmula de Bhaskara:
r = -B pm raizB^2 - 4AC2A
Onde A = 1 , B = -2 e C = 2 . Substituindo esses valores:
r = 2 pm raiz(-2)^2 - 4 cdot 1 cdot 22 cdot 1 = 2 pm raiz4 - 82 = 2 pm raiz-42

Passo 4

Percebemos que o discriminante De<a = B^2 - 4AC = -4 é negativo, o que significa que as raízes são complexas. Podemos escrever raiz-4 = 2i , onde i é a unidade imaginária. Então, as raízes ficam:
r = 2 pm 2i2 = 1 pm i

Passo 5

Quando as raízes da equação característica são complexas, da forma alpha pm beta i , a solução geral da equação diferencial é:
y(x) = e^alpha x ( C1 cos(beta x) + C2 sin(beta x) )
No nosso caso, alpha = 1 e beta = 1 .

Resposta

A solução geral da equação diferencial y'' - 2y' + 2y = 0 é:
y(x) = e^x ( C1 cos(x) + C2 sin(x) )

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