Em cada uma das questões de 1 a 4, encontre a equação característica e determine a solução geral da equação diferencial de segunda ordem ou a solução do problema de valor inicial dados.
Caso: raízes complexas.
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Caso: raízes complexas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial de segunda ordem:
. Isso faz parte da matéria de Equações Diferenciais, especificamente lidando com equações lineares de coeficientes constantes. Para resolver essa equação, a gente vai precisar encontrar a equação característica e, a partir das raízes dessa equação, determinar a solução geral da equação diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos transformar a equação diferencial em uma equação algébrica chamada equação característica. Para uma equação diferencial da forma
, a equação característica é
. No nosso caso, a equação diferencial é
, então os coeficientes são
e
. Assim, a equação característica é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar as raízes dessa equação quadrática. Para isso, usamos a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
e
. Substituindo esses valores:
Passo 4
Percebemos que o discriminante
é negativo, o que significa que as raízes são complexas. Podemos escrever
, onde
é a unidade imaginária. Então, as raízes ficam:
Passo 5
Quando as raízes da equação característica são complexas, da forma
, a solução geral da equação diferencial é:
No nosso caso,
e
.
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é: