Os valores da função f(x)=y são conhecidos nos pontos tabelados:
x f(x)
0 3.0000
0.225403330758517 2.8990
0.25 2.8760
0.5 2.5313
0.75 2.1123
1 2.0000
1.25 2.9268
1.5 6.0938
1.75 13.2881
1.77459666924148 14.3010
2 27.0000
Calcule o resultado da integral integral0^2 f(x) d x utilizando os seguintes métodos e número de pontos:
Simpson, 3 pontos;
Sabendo que o resultado analítico da função é integral0^2 f(x) d x=343. Calcule o erro relativo em cada letra e comente o resultado.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma tabela com valores de uma função f(x) para diferentes valores de x no intervalo de 0 a 2. Nosso objetivo é calcular a integral integral0^2 f(x) , dx usando o método de Simpson com 3 pontos. Depois, vamos comparar esse resultado com o valor exato da integral, que é 343 , para ver o quanto nosso cálculo está certinho. Para isso, vamos precisar entender como funciona a regra de Simpson, escolher os pontos certos da tabela e fazer os cálculos passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a regra de Simpson com 3 pontos. Esse método é uma técnica de integração numérica que aproxima o valor da integral usando um polinômio de segundo grau que passa por três pontos da função. A fórmula básica da regra de Simpson é:
integrala^b f(x) , dx approx h3 [ f(a) + 4f(a+b2) + f(b) ]
Aqui, a e b são os limites de integração, e h = b - a2 é a metade do intervalo.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa fórmula ao nosso problema. Nosso intervalo é de 0 a 2, então a = 0 e b = 2 . Calculando h :
h = 2 - 02 = 1
O ponto do meio é a + b2 = 1 . Vamos pegar os valores de f(x) nos pontos x = 0 , x = 1 e x = 2 da tabela:
f(0) = 3.0000
f(1) = 2.0000
f(2) = 27.0000

Passo 4

Substituindo esses valores na fórmula da regra de Simpson:
integral0^2 f(x) , dx approx 13 [ f(0) + 4f(1) + f(2) ]
Agora, vamos calcular:
integral0^2 f(x) , dx approx 13 [ 3.0000 + 4 times 2.0000 + 27.0000 ]
integral0^2 f(x) , dx approx 13 [ 3.0000 + 8.0000 + 27.0000 ]
integral0^2 f(x) , dx approx 13 times 38.0000
integral0^2 f(x) , dx approx 12.6667

Passo 5

Agora, vamos calcular o erro relativo entre o valor aproximado e o valor exato da integral. A fórmula do erro relativo é:
Erro Relativo = | Valor Aproximado - Valor ExatoValor Exato | times 100%
Sabemos que o valor exato é 343 approx 11.3333 . Então:
Erro Relativo = | 12.6667 - 11.333311.3333 | times 100%
Erro Relativo = | 1.333411.3333 | times 100%
Erro Relativo approx 11.76%

Resposta

Usando a regra de Simpson com 3 pontos, a integral integral0^2 f(x) , dx foi aproximada em 12,6667. O erro relativo em relação ao valor exato 343 é de aproximadamente 11,76%.

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