Os valores da função são conhecidos nos pontos tabelados:
x
0
3.0000
0.225403330758517
2.8990
0.25
2.8760
0.5
2.5313
0.75
2.1123
1
2.0000
1.25
2.9268
1.5
6.0938
1.75
13.2881
1.77459666924148
14.3010
2
27.0000
Calcule o resultado da integral utilizando os seguintes métodos e número de pontos:
Simpson, 3 pontos;
Sabendo que o resultado analítico da função é . Calcule o erro relativo em cada letra e comente o resultado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma tabela com valores de uma função para diferentes valores de no intervalo de 0 a 2. Nosso objetivo é calcular a integral usando o método de Simpson com 3 pontos. Depois, vamos comparar esse resultado com o valor exato da integral, que é , para ver o quanto nosso cálculo está certinho. Para isso, vamos precisar entender como funciona a regra de Simpson, escolher os pontos certos da tabela e fazer os cálculos passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a regra de Simpson com 3 pontos. Esse método é uma técnica de integração numérica que aproxima o valor da integral usando um polinômio de segundo grau que passa por três pontos da função. A fórmula básica da regra de Simpson é:
Aqui, e são os limites de integração, e é a metade do intervalo.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa fórmula ao nosso problema. Nosso intervalo é de 0 a 2, então e . Calculando :
O ponto do meio é . Vamos pegar os valores de nos pontos , e da tabela:
Passo 4
Substituindo esses valores na fórmula da regra de Simpson:
Agora, vamos calcular:
Passo 5
Agora, vamos calcular o erro relativo entre o valor aproximado e o valor exato da integral. A fórmula do erro relativo é:
Sabemos que o valor exato é 343 approx 11.3333 . Então:
Erro Relativo = | 12.6667 - 11.333311.3333 | times 100%
Erro Relativo = | 1.333411.3333 | times 100%
Erro Relativo approx 11.76%
Resposta
Usando a regra de Simpson com 3 pontos, a integral integral0^2 f(x) , dx foi aproximada em 12,6667. O erro relativo em relação ao valor exato 343 é de aproximadamente 11,76%.