Os valores da função f(x)=y são conhecidos nos pontos tabelados:
x f(x)
0 3.0000
0.225403330758517 2.8990
0.25 2.8760
0.5 2.5313
0.75 2.1123
1 2.0000
1.25 2.9268
1.5 6.0938
1.75 13.2881
1.77459666924148 14.3010
2 27.0000
Calcule o resultado da integral integral0^2 f(x) d x utilizando os seguintes métodos e número de pontos:
Trapézio, 5 pontos;
Sabendo que o resultado analítico da função é integral0^2 f(x) d x=343. Calcule o erro relativo em cada letra e comente o resultado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral da função f(x) de 0 a 2 usando o método do Trapézio com 5 pontos. Além disso, queremos comparar esse resultado com o valor analítico da integral, que é 343 , e calcular o erro relativo.
Então, vamos precisar entender:
  • Método do Trapézio: Uma técnica de integração numérica que aproxima a área sob a curva dividindo-a em trapézios.
  • Pontos da tabela: Temos valores específicos de f(x) em certos pontos de x .
  • Erro relativo: A diferença entre o valor aproximado e o exato, em relação ao valor exato.
Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, precisamos escolher 5 pontos no intervalo [0, 2] para aplicar o método do Trapézio. Olhando a tabela, vamos selecionar os seguintes pontos:
x = 0, 0.5, 1, 1.5, 2
Esses pontos estão igualmente espaçados, o que ajuda na aplicação do método.

Passo 3

Agora, vamos lembrar como funciona o método do Trapézio. Ele aproxima a área sob a curva dividindo o intervalo em n-1 trapézios (onde n é o número de pontos). A fórmula geral é:
integrala^b f(x) dx approx h2 [ f(x0) + 2 sumi=1^n-2 f(xi) + f(xn-1) ]
Onde:
  • h é a largura de cada subintervalo.
  • x0, x1, ldots, xn-1 são os pontos escolhidos.

Passo 4

Vamos calcular h , que é a distância entre os pontos escolhidos. Como escolhemos 5 pontos de 0 a 2 igualmente espaçados:
h = b - an - 1 = 2 - 05 - 1 = 24 = 0.5
Então, cada subintervalo tem largura de 0.5 unidades.

Passo 5

Agora, identificamos os valores de nos pontos escolhidos:

Passo 6

Aplicando a fórmula do Trapézio com esses valores:
integral0^2 f(x) dx approx h2 [ f(0) + 2f(0.5) + 2f(1) + 2f(1.5) + f(2) ]
Substituindo os valores:
approx 0.52 [ 3.0000 + 2(2.5313) + 2(2.0000) + 2(6.0938) + 27.0000 ]

Passo 7

Vamos calcular dentro dos colchetes primeiro:
3.0000 + 2(2.5313) + 2(2.0000) + 2(6.0938) + 27.0000 = 3.0000 + 5.0626 + 4.0000 + 12.1876 + 27.0000 = 51.2502
Então:
approx 0.52 times 51.2502 = 0.25 times 51.2502 = 12.81255

Passo 8

Agora, temos o valor aproximado da integral usando o método do Trapézio com 5 pontos:
integral0^2 f(x) dx approx 12.81255

Passo 9

Vamos comparar esse valor com o resultado analítico dado:
Valor analítico = 343 approx 11.3333 í
Agora, calculamos o erro relativo usando a fórmula:
Erro relativo = | Valor aproximado - Valor exatoValor exato | times 100%
Substituindo:
Erro relativo = | 12.81255 - 11.333311.3333 | times 100% approx | 1.4792511.3333 | times 100% approx 13.05%

Resposta

Usando o método do Trapézio com 5 pontos, a integral aproximada é 12.81255 . Comparando com o valor analítico 343 approx 11.3333 , o erro relativo é de aproximadamente 13,05%. Isso mostra que a aproximação está razoavelmente próxima, mas poderia ser melhorada com mais pontos ou outro método de integração.

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