Os valores da função são conhecidos nos pontos tabelados:
x
0
3.0000
0.225403330758517
2.8990
0.25
2.8760
0.5
2.5313
0.75
2.1123
1
2.0000
1.25
2.9268
1.5
6.0938
1.75
13.2881
1.77459666924148
14.3010
2
27.0000
Calcule o resultado da integral utilizando os seguintes métodos e número de pontos:
Trapézio, 5 pontos;
Sabendo que o resultado analítico da função é . Calcule o erro relativo em cada letra e comente o resultado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral da função de 0 a 2 usando o método do Trapézio com 5 pontos. Além disso, queremos comparar esse resultado com o valor analítico da integral, que é , e calcular o erro relativo.
Então, vamos precisar entender:
Método do Trapézio: Uma técnica de integração numérica que aproxima a área sob a curva dividindo-a em trapézios.
Pontos da tabela: Temos valores específicos de em certos pontos de .
Erro relativo: A diferença entre o valor aproximado e o exato, em relação ao valor exato.
Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, precisamos escolher 5 pontos no intervalo para aplicar o método do Trapézio. Olhando a tabela, vamos selecionar os seguintes pontos:
Esses pontos estão igualmente espaçados, o que ajuda na aplicação do método.
Passo 3
Agora, vamos lembrar como funciona o método do Trapézio. Ele aproxima a área sob a curva dividindo o intervalo em trapézios (onde é o número de pontos). A fórmula geral é:
Onde:
é a largura de cada subintervalo.
são os pontos escolhidos.
Passo 4
Vamos calcular , que é a distância entre os pontos escolhidos. Como escolhemos 5 pontos de 0 a 2 igualmente espaçados:
Então, cada subintervalo tem largura de 0.5 unidades.
Passo 5
Agora, identificamos os valores de nos pontos escolhidos:
Passo 6
Aplicando a fórmula do Trapézio com esses valores:
Substituindo os valores:
Passo 7
Vamos calcular dentro dos colchetes primeiro:
Então:
Passo 8
Agora, temos o valor aproximado da integral usando o método do Trapézio com 5 pontos:
Passo 9
Vamos comparar esse valor com o resultado analítico dado:
Agora, calculamos o erro relativo usando a fórmula:
Substituindo:
Erro relativo = | 12.81255 - 11.333311.3333 | times 100% approx | 1.4792511.3333 | times 100% approx 13.05%
Resposta
Usando o método do Trapézio com 5 pontos, a integral aproximada é 12.81255 . Comparando com o valor analítico 343 approx 11.3333 , o erro relativo é de aproximadamente 13,05%. Isso mostra que a aproximação está razoavelmente próxima, mas poderia ser melhorada com mais pontos ou outro método de integração.