- Em cada uma das questões, resolver a equação diferencial e encontre a solução geral.
- Mostre detalhes dos seus cálculos.
- Valor total da prova = 35 pontos
- Cada questão vale 07 pontos
- Resolver a equação diferencial pelo método de Transformada de Laplace
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) Resolva mediante a transformada de Laplace o problema de valor inicial
, onde
. Depois, “encontre o valor de
" de modo que a solução "
tende a zero” quando
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) Resolva mediante a transformada de Laplace o problema de valor inicial
Passo 1
Para o item (a) temos a EDO
com condições iniciais
e
. Vamos usar a transformada de Laplace para transformar a EDO em álgebra e depois inverter para encontrar
.
Passo 2
Aplique a transformada de Laplace em cada termo, lembrando que
Logo a equação transformada é
Passo 3
Colocando em evidência
obtemos
Passo 4
Escrevemos
e reconhecemos
Assim, por convolução,
Passo 5
Calcule a integral por partes ou use fórmula conhecida:
Logo
Passo 6
Para o item (b) a EDO é
com
e
. Usamos Laplace para converter em álgebra.
Passo 7
Transformando:
A equação fica
Passo 8
Isolando
Faça frações parciais do tipo
Passo 9
Ao resolver o sistema para
encontra-se
Então
Passo 10
Inverta termo a termo usando
,
,
,
.
Obtemos
Obtemos
Passo 11
Para o item (c) a EDO é
com
,
,
. Aplicamos Laplace.
Passo 12
então
Passo 13
Separe
e resolva a segunda fração por parciais
Passo 14
Do sistema vem
Passo 15
Invertendo cada termo:
,
.
Assim
Assim
Passo 16
Para o item (d) a EDO é
com
e
. Usamos Laplace para resolver.
Passo 17
Substituindo:
Passo 18
Isole
Passo 19
Expresse em frações simples com
:
ou seja
Passo 20
Invertendo com
,
,
,
chega-se a
chega-se a
Passo 21
Para o item (e) temos
com
,
. Usamos Laplace e depois exigimos
quando
.
Passo 22
Transformando:
a equação vira
Passo 23
Resolva
para achar
e
.
Passo 24
Do sistema resulta
portanto
Passo 25
Para que
quando
, é preciso que o termo
desapareça, ou seja
.