• Em cada uma das questões, resolver a equação diferencial e encontre a solução geral.
  • Mostre detalhes dos seus cálculos.
  • Valor total da prova = 35 pontos
  • Cada questão vale 07 pontos
  • Resolver a equação diferencial pelo método de Transformada de Laplace
    (a) y^{\prime \prime}-y^{\prime}=e^{t} \cos t, \quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=0
    (b) y^{\prime \prime}(t)-2 y^{\prime}(t)+2 y(t)=2 \cos 2 t-4 \operatorname{sen} 2 t \quad, \quad y(0)=0 ; y^{\prime}(0)=1
    (c) y^{\prime \prime}+\omega^{2} y=\cos 2 t, \quad \omega^{2} \neq 4 ; \quad y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=0
    (d) x^{\prime \prime}(t)+4 x^{\prime}(t)+4 x(t)=4 e^{-2 t}, x(0)=-1 ; x^{\prime}(0)=4
    (e) Resolva mediante a transformada de Laplace o problema de valor inicial \frac{d^{2} y}{d t^{2}}-\frac{d y}{d t}-2 y=0, onde y(0)=\alpha, y^{\prime}(0)=2. Depois, “encontre o valor de \alpha " de modo que a solução " y(t) tende a zero” quando \mathbf{t} \rightarrow \infty

Passo 1

Para o item (a) temos a EDO
y'' - y' = e^{t}\cos t,
com condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=0. Vamos usar a transformada de Laplace para transformar a EDO em álgebra e depois inverter para encontrar y(t).

Passo 2

Aplique a transformada de Laplace em cada termo, lembrando que
\mathcal{L}\{y''\}(s)=s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0)=s^2Y(s),
\mathcal{L}\{y'\}(s)=sY(s)-y(0)=sY(s),
\mathcal{L}\{e^{t}\cos t\}(s)=\frac{s-1}{(s-1)^2+1}.
Logo a equação transformada é
s^2Y(s)-sY(s)=\frac{s-1}{(s-1)^2+1}.

Passo 3

Colocando em evidência Y(s) obtemos
Y(s)\bigl(s^2 - s\bigr) =\frac{s-1}{(s-1)^2+1} \quad\Longrightarrow\quad Y(s) =\frac{s-1}{s(s-1)\bigl((s-1)^2+1\bigr)} =\frac{1}{s\bigl((s-1)^2+1\bigr)}.

Passo 4

Escrevemos
Y(s) =\frac{1}{s}\;\frac{1}{(s-1)^2+1},
e reconhecemos
\mathcal{L}\{1\}(s)=\frac{1}{s}, \quad \mathcal{L}\{e^{t}\sin t\}(s) =\frac{1}{(s-1)^2+1}.
Assim, por convolução,
y(t) =\int_{0}^{t}1\cdot e^{\tau}\sin\tau\,d\tau =\int_{0}^{t}e^{\tau}\sin\tau\,d\tau.

Passo 5

Calcule a integral por partes ou use fórmula conhecida:
\int e^{\tau}\sin\tau\,d\tau =\frac{e^{\tau}}{2}\bigl(\sin\tau-\cos\tau\bigr)+C.
Logo
y(t) =\left[\frac{e^{\tau}}{2}(\sin\tau-\cos\tau)\right]_{0}^{t} =\frac{e^{t}}{2}(\sin t-\cos t)+\frac12.

Passo 6

Para o item (b) a EDO é
y''-2y'+2y=2\cos2t-4\sin2t,
com y(0)=0 e y'(0)=1. Usamos Laplace para converter em álgebra.

Passo 7

Transformando:
\mathcal{L}\{y''\}=s^2Y-1,\quad \mathcal{L}\{y'\}=sY,\quad \mathcal{L}\{2\cos2t-4\sin2t\} =\frac{2s}{s^2+4}-\frac{8}{s^2+4}.
A equação fica
(s^2Y-1)-2(sY)+2Y =\frac{2s-8}{s^2+4} \;\Longrightarrow\; Y(s)(s^2-2s+2)-1=\frac{2s-8}{s^2+4}.

Passo 8

Isolando
Y(s) =\frac{1}{s^2-2s+2} +\frac{2s-8}{(s^2+4)(s^2-2s+2)} =\frac{s^2+2s-4}{(s^2+4)(s^2-2s+2)}.
Faça frações parciais do tipo
Y(s) =\frac{As+B}{s^2+4}+\frac{C(s-1)+D}{(s-1)^2+1}.

Passo 9

Ao resolver o sistema para A,B,C,D encontra-se
A=5,\;B=14,\;C=-5,\;D=-8.
Então
Y(s) =\frac{5s+14}{s^2+4} -\frac{5(s-1)+8}{(s-1)^2+1}.

Passo 10

Inverta termo a termo usando
\mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{s}{s^2+4}\}=\cos2t,
\mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s^2+4}\}=\tfrac12\sin2t,
\mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{s-1}{(s-1)^2+1}\}=e^{t}\cos t,
\mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{(s-1)^2+1}\}=e^{t}\sin t.
Obtemos
y(t)=5\cos2t+7\sin2t-5e^{t}\cos t-8e^{t}\sin t.

Passo 11

Para o item (c) a EDO é
y''+\omega^{2}y=\cos2t,
com \omega^{2}\neq4, y(0)=1, y'(0)=0. Aplicamos Laplace.

Passo 12

\mathcal{L}\{y''\}=s^2Y-s,\quad \mathcal{L}\{\cos2t\}=\frac{s}{s^2+4},
então
(s^2+\omega^2)Y-s=\frac{s}{s^2+4} \quad\Longrightarrow\quad Y(s) =\frac{s}{s^2+\omega^2} +\frac{s}{(s^2+4)(s^2+\omega^2)}.

Passo 13

Separe
Y(s) =\frac{s}{s^2+\omega^2} +\frac{s}{(s^2+4)(s^2+\omega^2)}
e resolva a segunda fração por parciais
\frac{s}{(s^2+4)(s^2+\omega^2)} =\frac{A\,s}{s^2+4}+\frac{B\,s}{s^2+\omega^2}.

Passo 14

Do sistema vem
A=\frac{1}{\omega^2-4}, \quad B=-\frac{1}{\omega^2-4}.

Passo 15

Invertendo cada termo:
\mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{s}{s^2+\omega^2}\}=\cos(\omega t),
\mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{s}{s^2+4}\}=\cos2t.
Assim
y(t) =\cos(\omega t) +\frac{1}{\omega^2-4}\cos2t -\frac{1}{\omega^2-4}\cos(\omega t) =\frac{\omega^2-5}{\omega^2-4}\cos(\omega t) +\frac{1}{\omega^2-4}\cos2t.

Passo 16

Para o item (d) a EDO é
x''+4x'+4x=4e^{-2t},
com x(0)=-1 e x'(0)=4. Usamos Laplace para resolver.

Passo 17

\mathcal{L}\{x''\}=s^2X+s-4,\quad \mathcal{L}\{x'\}=sX+1, \quad \mathcal{L}\{4e^{-2t}\}=\frac{4}{s+2}.
Substituindo:
(s^2X+s-4)+4(sX+1)+4X=\frac{4}{s+2} \;\Longrightarrow\; (s+2)^2X+s=\frac{4}{s+2}.

Passo 18

Isole
X(s) =\frac{\frac{4}{s+2}-s}{(s+2)^2} =\frac{4-s(s+2)}{(s+2)^3} =-\frac{s^2+2s-4}{(s+2)^3}.

Passo 19

Expresse em frações simples com u=s+2:
X(s) =-\frac{u^2-2u-4}{u^3} =-\frac{1}{u}+\frac{2}{u^2}+\frac{4}{u^3}
ou seja
X(s) =-\frac{1}{s+2}+\frac{2}{(s+2)^2}+\frac{4}{(s+2)^3}.

Passo 20

Invertendo com
\mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s+2}\}=e^{-2t},
\mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{(s+2)^2}\}=t\,e^{-2t},
\mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{(s+2)^3}\}=\tfrac{t^2}{2}e^{-2t},
chega-se a
x(t) =-e^{-2t}+2t\,e^{-2t}+4\cdot\frac{t^2}{2}e^{-2t} =e^{-2t}\bigl(-1+2t+2t^2\bigr).

Passo 21

Para o item (e) temos
y''-y'-2y=0,
com y(0)=\alpha, y'(0)=2. Usamos Laplace e depois exigimos y(t)\to0 quando t\to\infty.

Passo 22

Transformando:
\mathcal{L}\{y''\}=s^2Y-s\alpha-2, \quad \mathcal{L}\{y'\}=sY-\alpha,
a equação vira
\bigl(s^2Y-s\alpha-2\bigr)-\bigl(sY-\alpha\bigr)-2Y=0 \;\Longrightarrow\; Y(s)(s^2-s-2)=\alpha(s-1)+2.

Passo 23

Y(s) =\frac{\alpha(s-1)+2}{(s-2)(s+1)} =\frac{A}{s-2}+\frac{B}{s+1}.
Resolva
\alpha(s-1)+2 = A(s+1)+B(s-2)
para achar A e B.

Passo 24

Do sistema resulta
A=\frac{\alpha+2}{3}, \quad B=\frac{2\alpha-2}{3},
portanto
y(t) =A e^{2t}+B e^{-t} =\frac{\alpha+2}{3}e^{2t} +\frac{2\alpha-2}{3}e^{-t}.

Passo 25

Para que y(t)\to0 quando t\to\infty, é preciso que o termo e^{2t} desapareça, ou seja
\tfrac{\alpha+2}{3}=0\Rightarrow\alpha=-2.

Resposta

\alpha=-2 \quad\text{e}\quad y(t)=-2\,e^{-t}.

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