Questão 1 ( +2 pontos) Calcule o perímetro l_{n} e o apótema a_{n} de um polígono regular de n lados inscrito em um cŕculo de raio R (em termos de n e R ). Use estas informações para obter as razões trigonométricas do ângulo de 36^{\circ}.

Passo 1

O enunciado pede o perímetro l_{n} e o apótema a_{n} de um polígono regular de n lados inscrito num círculo de raio R. O conteúdo usado será geometria de triângulo isósceles (para cada setor central) e trigonometria básica (seno e cosseno de um ângulo central). Em seguida, aplicaremos o caso n=5 (logo ângulo central \tfrac{2\pi}{5}=72^\circ e meia-ângulo \tfrac{\pi}{5}=36^\circ) para obter \sin36^\circ e \cos36^\circ.

Passo 2

Cada lado do polígono é a corda que subtende ângulo central
\tfrac{2\pi}{n}. Num triângulo isósceles de vértices centro–ponto médio do lado–vértice adjacente, a metade do lado vale
\frac{s}{2}=R\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{n}\bigr).
Portanto o comprimento do lado é
s=2R\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{n}\bigr).

Passo 3

O perímetro l_{n} é a soma de todos os n lados, logo
l_{n}=n\cdot s =n\cdot 2R\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{n}\bigr) =2nR\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{n}\bigr).

Passo 4

O apótema a_{n} é a distância do centro ao ponto médio de um lado. No mesmo triângulo retângulo, a hipotenusa é R e o cateto adjacente a \tfrac{\pi}{n} vale
a_{n}=R\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{n}\bigr).

Passo 5

Para obter as razões trigonométricas de 36^\circ, tomamos n=5. Então \tfrac{\pi}{n}=\tfrac{\pi}{5}=36^\circ. Em particular
\cos36^\circ=\frac{a_{5}}{R} =\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{5}\bigr) =\frac{1+\sqrt5}{4},
usando a relação com a razão áurea, e
\sin36^\circ =\sqrt{1-\cos^2 36^\circ} =\sqrt{1-\Bigl(\tfrac{1+\sqrt5}{4}\Bigr)^2} =\frac{\sqrt{10-2\sqrt5}}{4}.
Opcionalmente a tangente é
\tan36^\circ =\frac{\sin36^\circ}{\cos36^\circ} =\frac{\sqrt{10-2\sqrt5}}{1+\sqrt5}.

Resposta

l_{n}=2nR\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{n}\bigr)
a_{n}=R\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{n}\bigr)
\cos36^\circ=\tfrac{1+\sqrt5}{4}
\sin36^\circ=\tfrac{\sqrt{10-2\sqrt5}}{4}
\tan36^\circ=\tfrac{\sqrt{10-2\sqrt5}}{1+\sqrt5}

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