Questão 1 ( +2 pontos) Calcule o perímetro
e o apótema
de um polígono regular de
lados inscrito em um cŕculo de raio
(em termos de
e
). Use estas informações para obter as razões trigonométricas do ângulo de
.
Passo 1
O enunciado pede o perímetro
e o apótema
de um polígono regular de
lados inscrito num círculo de raio
. O conteúdo usado será geometria de triângulo isósceles (para cada setor central) e trigonometria básica (seno e cosseno de um ângulo central). Em seguida, aplicaremos o caso
(logo ângulo central
e meia-ângulo
) para obter
e
.
Passo 2
Cada lado do polígono é a corda que subtende ângulo central
. Num triângulo isósceles de vértices centro–ponto médio do lado–vértice adjacente, a metade do lado vale
Portanto o comprimento do lado é
Passo 3
O perímetro
é a soma de todos os
lados, logo
Passo 4
O apótema
é a distância do centro ao ponto médio de um lado. No mesmo triângulo retângulo, a hipotenusa é
e o cateto adjacente a
vale
Passo 5
Para obter as razões trigonométricas de
, tomamos
. Então
. Em particular
usando a relação com a razão áurea, e
Opcionalmente a tangente é