• Resolver a equação diferencial pelo método de Transformada de Laplace
    y^{\prime \prime}(t)-2 y^{\prime}(t)+2 y(t)=2 \cos 2 t-4 \operatorname{sen} 2 t \quad, \quad y(0)=0 ; y^{\prime}(0)=1

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais
y''(t)-2y'(t)+2y(t)=2\cos2t-4\sin2t,\quad y(0)=0,\;y'(0)=1
e pede para resolver usando transformada de Laplace. Vamos usar as propriedades
\mathcal{L}\{y'\}=sY(s)-y(0),
\mathcal{L}\{y''\}=s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0)
e as transformadas de \cos2t e \sin2t.

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados:
\mathcal{L}\{y''\}-2\mathcal{L}\{y'\}+2\mathcal{L}\{y\} =\;2\,\mathcal{L}\{\cos2t\}-4\,\mathcal{L}\{\sin2t\}.
Usando y(0)=0 e y'(0)=1 obtemos
(s^2Y(s)-1)-2(sY(s))+2Y(s) =2\frac{s}{s^2+4}-4\frac{2}{s^2+4}.
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(s^2-2s+2)Y(s)-1=\frac{2s-8}{s^2+4}.
Isolando Y(s):
(s^2-2s+2)Y(s)=\frac{2s-8}{s^2+4}+1 =\frac{2s-8+s^2+4}{s^2+4} =\frac{s^2+2s-4}{s^2+4},
Y(s)=\frac{s^2+2s-4}{(s^2+4)(s^2-2s+2)}.

Passo 3

Para inverter a transformada, fazemos decomposição em frações parciais:
\frac{s^2+2s-4}{(s^2+4)\bigl((s-1)^2+1\bigr)} =\frac{As+B}{s^2+4}+\frac{Cs+D}{(s-1)^2+1}.
Igualando numeradores e resolvendo o sistema, achamos
A=-1,\\ B=0,\\ C=1,\\ D=-1.
Assim
Y(s)=-\frac{s}{s^2+4}+\frac{s-1}{(s-1)^2+1}.

Passo 4

Agora usamos as transformadas inversas conhecidas:
\mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{s}{s^2+4}\}=\cos2t e
\mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{s-1}{(s-1)^2+1}\}=e^{t}\cos t.
Logo
y(t)=-\cos2t+e^{t}\cos t.

Passo 5

Conferindo as condições iniciais: em t=0 fica -1+1=0 e derivando dá 1 em t=0, ok.

Resposta

y(t)=-\cos2t+e^{t}\cos t.

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