Em cada uma das questões, resolver a equação diferencial e encontre a solução geral. Mostre detalhes dos seus cálculos. Resolver a equação diferencial pelo método de Transformada de Laplace
(a) y^{\prime \prime}-y^{\prime}=e^{t} \cos t, \quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y'' - y' = e^t \cos t
com as condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=0, usando o método da Transformada de Laplace.
Para isso vamos precisar das fórmulas
\mathcal{L}\{y'\}(s) = sY(s) - y(0),\quad \mathcal{L}\{y''\}(s) = s^2Y(s) - s\,y(0) - y'(0),
e
\mathcal{L}\{e^{at}\cos(bt)\}(s) =\frac{s - a}{(s-a)^2 + b^2}.

Passo 2

Aplicando a Transformada de Laplace em ambos os lados de y'' - y' = e^t \cos t, obtemos
\mathcal{L}\{y''\}(s) - \mathcal{L}\{y'\}(s) = \mathcal{L}\{e^t\cos t\}(s).
Substituindo as fórmulas e usando y(0)=0, y'(0)=0, temos
\bigl[s^2Y(s) - 0 - 0\bigr] - \bigl[sY(s) - 0\bigr] = \frac{s - 1}{(s-1)^2 + 1}.
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(s^2 - s)\,Y(s) = \frac{s - 1}{(s-1)^2 + 1}.

Passo 3

Isolando Y(s), nota-se que s^2 - s = s(s-1), então
Y(s) = \frac{s - 1}{s(s-1)\,\bigl[(s-1)^2 + 1\bigr]} = \frac{1}{s\bigl[(s-1)^2 + 1\bigr]}
(após cancelar o fator s-1, válido para a transformada).

Passo 4

Fazemos frações parciais na forma
\frac{1}{s\bigl[(s-1)^2 + 1\bigr]} = \frac{A}{s} + \frac{C\,s + D}{(s-1)^2 + 1}.
Multiplicando por s\bigl[(s-1)^2+1\bigr] e comparando coeficientes, obtemos
1 = A\bigl[(s-1)^2+1\bigr] + (C\,s+D)\,s.
Para s=0 1 = 2A\Rightarrow A=\tfrac12. Expandindo e igualando coeficientes, acha-se
C = -\tfrac12,\quad D = 1.
Portanto
Y(s) = \frac{1}{2s} + \frac{-\tfrac12\,s + 1}{(s-1)^2 + 1}.

Passo 5

Agora aplicamos a Transformada inversa termo a termo:
\mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{\tfrac{1}{2s}\Bigr\}(t) = \tfrac12, \quad \mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{\frac{s-1}{(s-1)^2+1}\Bigr\}(t) = e^t\cos t, \quad \mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{\frac{1}{(s-1)^2+1}\Bigr\}(t) = e^t\sin t.
Reescrevendo o numerador -\tfrac12\,s+1 = -\tfrac12\,(s-1) + \tfrac32, obtemos
y(t) = \tfrac12 - \tfrac12\,e^t\cos t + \tfrac32\,e^t\sin t.

Resposta

\boxed{y(t) = \frac12 \;-\;\frac12\,e^t\cos t\;+\;\frac32\,e^t\sin t.}

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