Questão 6 (+2 pontos) Determine o ângulo entre duas arestas opostas de um tetraedro regular.
Passo 1
O problema pede o ângulo entre duas arestas opostas (linhas geradas por arestas que não têm vértice em comum) de um tetraedro regular. Para isso, vamos atribuir coordenadas convenientes aos vértices, usar vetores direção dessas arestas e aplicar o produto escalar para encontrar o cosseno do ângulo entre elas.
Passo 2
Escolhemos como vértices do tetraedro os pontos
Basta verificar que a distância entre quaisquer dois desses pontos é
constante, logo formam um tetraedro regular de aresta
.
Passo 3
Tomemos as arestas opostas
e
. Seus vetores direção são
Passo 4
Calculamos o produto escalar
Como o produto escalar é zero, os vetores são perpendiculares e portanto o ângulo entre as retas que contêm
e
é
.
Resposta
O ângulo entre duas arestas opostas de um tetraedro regular é
.