Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo:
y^{\prime}+\frac{1}{\epsilon} y=3 \cos 2 t, t>0,

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem
y' + \frac{1}{\epsilon}\,y = 3\cos(2t),\quad t>0.
O conteúdo envolvido é EDO linear não-homogênea de 1ª ordem. Vamos usar o método do fator integrante ou, equivalentemente, separar em solução homogênea e particular (coeficientes indeterminados).

Passo 2

Encontrar a solução da equação homogênea
y' + \frac{1}{\epsilon}\,y = 0.
Essa é separável ou pode usar fator integrante e^{t/\epsilon}. Integramos
\frac{y'}{y} = -\frac{1}{\epsilon} \quad\Longrightarrow\quad \ln|y| = -\frac{t}{\epsilon} + C_1 \quad\Longrightarrow\quad y_h(t) = C\,e^{-t/\epsilon}.

Passo 3

Procurar uma solução particular pelo método dos coeficientes indeterminados. Assumimos
y_p(t) = A\cos(2t) + B\sin(2t).
Então
y_p' = -2A\sin(2t) + 2B\cos(2t).
Substituindo em y' + \tfrac{1}{\epsilon}y=3\cos(2t)\): \[(-2A\sin2t + 2B\cos2t) + \frac{1}{\epsilon}(A\cos2t + B\sin2t) =3\cos2t.
Agrupando termos de \cos2t e \sin2t obtemos o sistema
\begin{cases} 2B + \tfrac{A}{\epsilon} = 3,\\\\ -2A + \tfrac{B}{\epsilon} = 0. \end{cases}
Da segunda equação vem \tfrac{B}{\epsilon}=2A\], logo \(B=2A\epsilon. Substituindo na primeira:
2(2A\epsilon)+\frac{A}{\epsilon}=3 \quad\Longrightarrow\quad 4A\epsilon+\frac{A}{\epsilon}=3 \quad\Longrightarrow\quad A\Bigl(4\epsilon+\tfrac{1}{\epsilon}\Bigr)=3 \quad\Longrightarrow\quad A=\frac{3\epsilon}{4\epsilon^2+1},
e daí
B=2A\epsilon=\frac{6\epsilon^2}{4\epsilon^2+1}.

Passo 4

A solução geral é soma da homogênea com a particular:
y(t)=y_h(t)+y_p(t) = C\,e^{-t/\epsilon} +\frac{3\epsilon}{4\epsilon^2+1}\cos(2t) +\frac{6\epsilon^2}{4\epsilon^2+1}\sin(2t).

Resposta

y(t)=C\,e^{-t/\epsilon} +\frac{3\epsilon}{4\epsilon^2+1}\cos(2t) +\frac{6\epsilon^2}{4\epsilon^2+1}\sin(2t).

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