Resolva:
\frac{1}{x} d x + \frac{1}{y} d y=0,

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
\frac{1}{x}\,dx + \frac{1}{y}\,dy = 0
e pede a solução geral. Este é um caso clássico de EDO de variáveis separáveis, onde podemos agrupar os termos em x junto de dx num lado e os termos em y junto de dy no outro.

Passo 2

Separamos as variáveis colocando \,dx e x de um lado, e \,dy e y do outro:
\frac{1}{y}\,dy = -\,\frac{1}{x}\,dx.

Passo 3

Agora integramos ambos os lados:
\int \frac{1}{y}\,dy = - \int \frac{1}{x}\,dx
que dá
\ln\lvert y\rvert = -\ln\lvert x\rvert + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Usamos propriedades de logaritmo para somar:
\ln\lvert y\rvert + \ln\lvert x\rvert = C \quad\Longrightarrow\quad \ln\lvert x\,y\rvert = C.
Aplicando exponencial,
\lvert x\,y\rvert = e^{C} = K,
onde K é outra constante (podendo assumir sinal). Assim, a solução geral é
x\,y = K.

Resposta

A solução geral da equação é
x\,y = C,
com C constante arbitrária.

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