Para cada uma das relações abaixo, decida se ela é reflexiva, simétrica, anti-simétrica ou transitiva. Quais são de equivalência? E quais são de ordem (parcial ou total)?
e
.
Passo 1
O enunciado define a relação
dada por
Queremos testar se
é reflexiva, simétrica, anti-simétrica ou transitiva, e então verificar se é de equivalência ou de ordem (parcial ou total).
Passo 2
Verificando reflexividade.
Por definição, é reflexiva em
se
Por definição,
Mas
exige
. Logo, para
não vale
.
Conclusão: não é reflexiva em
.
Conclusão:
Passo 3
Verificando simetria.
é simétrica se
Mas
significa
e
, e então claramente
e
, ou seja
.
Conclusão: é simétrica.
Conclusão:
Passo 4
Verificando anti-simetria.
é anti-simétrica se
Mas para
ambos não-negativos, temos
e
sem exigir
.
Por exemplo, e
mas
.
Conclusão: não é anti-simétrica.
Por exemplo,
Conclusão:
Passo 5
Verificando transitividade.
é transitiva se
Aqui
e
implicam
,
e
. Então
e
, logo
.
Conclusão: é transitiva.
Conclusão:
Passo 6
Classificação final:
- Propriedades satisfeitas: simétrica e transitiva.
- Propriedades falhadas: reflexiva e anti-simétrica.
Logonão é relação de equivalência (falta reflexividade) e nem ordem parcial (falta reflexividade e anti-simetria), portanto tampouco ordem total.
Resposta
A relação é simétrica e transitiva, mas não é reflexiva nem anti-simétrica. Não é de equivalência e não é de ordem (nem parcial nem total).