Para cada uma das relações abaixo, decida se ela é reflexiva, simétrica, anti-simétrica ou transitiva. Quais são de equivalência? E quais são de ordem (parcial ou total)?
R:=(x, y) in R^2 mid x >= 0 e y >= 0 subseteq R^2.

Passo 1

O enunciado define a relação RsubseteqRtimesR dada por
R=(x,y)inR^2mid x>=0 e y>=0
Queremos testar se R é reflexiva, simétrica, anti-simétrica ou transitiva, e então verificar se é de equivalência ou de ordem (parcial ou total).

Passo 2

Verificando reflexividade.
Por definição, R é reflexiva em R se
forall xinR:;(x,x)in R
Mas (x,x)in R exige x>=0. Logo, para x<0 não vale (x,x)in R.
Conclusão: R não é reflexiva em R.

Passo 3

Verificando simetria.
R é simétrica se
forall x,yinR:;(x,y)in R;Longrightarrow;(y,x)in R
Mas (x,y)in R significa x>=0 e y>=0, e então claramente y>=0 e x>=0, ou seja (y,x)in R.
Conclusão: R é simétrica.

Passo 4

Verificando anti-simetria.
R é anti-simétrica se
forall x,yinR:;(x,y)in R e (y,x)in R;Longrightarrow;x=y
Mas para xneq y ambos não-negativos, temos (x,y)in R e (y,x)in R sem exigir x=y.
Por exemplo, (1,2)in R e (2,1)in R mas 1neq2.
Conclusão: R não é anti-simétrica.

Passo 5

Verificando transitividade.
R é transitiva se
forall x,y,zinR:;(x,y)in R e (y,z)in R;Longrightarrow;(x,z)in R
Aqui (x,y)in R e (y,z)in R implicam x>=0, y>=0 e z>=0. Então x>=0 e z>=0, logo (x,z)in R.
Conclusão: R é transitiva.

Passo 6

Classificação final:
  • Propriedades satisfeitas: simétrica e transitiva.
  • Propriedades falhadas: reflexiva e anti-simétrica.
    Logo R não é relação de equivalência (falta reflexividade) e nem ordem parcial (falta reflexividade e anti-simetria), portanto tampouco ordem total.

Resposta

A relação é simétrica e transitiva, mas não é reflexiva nem anti-simétrica. Não é de equivalência e não é de ordem (nem parcial nem total).

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