Para cada uma das relações abaixo, decida se ela é reflexiva, simétrica, anti-simétrica ou transitiva. Quais são de equivalência? E quais são de ordem (parcial ou total)?
R:=(x, y) in R^2 mid x^2+y^2 <= 1 subseteq R^2.

Passo 1

Temos a relação RsubseteqR^2 definida por
R=(x,y)mid x^2+y^2<=1
O universo é R e queremos checar as propriedades de: reflexividade, simetria, anti-simetria e transitividade. Em seguida, decidiremos se R é uma relação de equivalência e/ou de ordem (parcial ou total).

Passo 2

Verificação de reflexividade.
Para ser reflexiva, deve valer
forall xinR:;(x,x)in R
Mas
(x,x)in Riff x^2+x^2<=1iff2x^2<=1iff|x|<=1raiz2
Nem todo xinR satisfaz |x|<=1/raiz2. Logo, R não é reflexiva.

Passo 3

Verificação de simetria.
Para ser simétrica, precisamos
(x,y)in Rimplies(y,x)in R
Mas (x,y)in R significa x^2+y^2<=1, e isso é equivalente a y^2+x^2<=1. Portanto, sempre que (x,y)in R temos (y,x)in R. Logo, R é simétrica.

Passo 4

Verificação de anti-simetria.
Para ser anti-simétrica, se (x,y)in R e (y,x)in R então deve vir x=y.
Considere x=1 e y=0. Temos
(1,0)in R(pois 1^2+0^2=1<=1),
(0,1)in R(pois 0^2+1^2=1<=1),
mas 1neq0. Isso quebra a anti-simetria. Logo, R não é anti-simétrica.

Passo 5

Verificação de transitividade.
Para ser transitiva, de (x,y)in R e (y,z)in R deve vir (x,z)in R.
Tome x=1,y=0,z=1. Então
(1,0)in Re(0,1)in R,
mas
(1,1)notin R(pois 1^2+1^2=2>1)
Logo, R não é transitiva.

Passo 6

Classificação final:
– Só a propriedade de simetria é satisfeita.
– Não é reflexiva nem anti-simétrica nem transitiva.
– Não é relação de equivalência (falta reflexividade e transitividade).
– Não é ordem parcial (falta reflexividade, anti-simetria e transitividade) nem ordem total.

Resposta

A relação R é apenas simétrica; não é reflexiva, anti-simétrica nem transitiva. Portanto não é de equivalência nem de ordem (nem parcial nem total).

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