Para cada uma das relações abaixo, decida se ela é reflexiva, simétrica, anti-simétrica ou transitiva. Quais são de equivalência? E quais são de ordem (parcial ou total)?
.
Passo 1
Temos a relação
definida por
O universo é
e queremos checar as propriedades de: reflexividade, simetria, anti-simetria e transitividade. Em seguida, decidiremos se
é uma relação de equivalência e/ou de ordem (parcial ou total).
Passo 2
Verificação de reflexividade.
Para ser reflexiva, deve valer
Para ser reflexiva, deve valer
Mas
Nem todo
satisfaz
. Logo,
não é reflexiva.
Passo 3
Verificação de simetria.
Para ser simétrica, precisamos
Para ser simétrica, precisamos
Mas
significa
, e isso é equivalente a
. Portanto, sempre que
temos
. Logo,
é simétrica.
Passo 4
Verificação de anti-simetria.
Para ser anti-simétrica, se e
então deve vir
.
Considere e
. Temos
Para ser anti-simétrica, se
Considere
mas
. Isso quebra a anti-simetria. Logo,
não é anti-simétrica.
Passo 5
Verificação de transitividade.
Para ser transitiva, de e
deve vir
.
Tome . Então
Para ser transitiva, de
Tome
mas
Logo,
não é transitiva.
Passo 6
Classificação final:
– Só a propriedade de simetria é satisfeita.
– Não é reflexiva nem anti-simétrica nem transitiva.
– Não é relação de equivalência (falta reflexividade e transitividade).
– Não é ordem parcial (falta reflexividade, anti-simetria e transitividade) nem ordem total.
– Só a propriedade de simetria é satisfeita.
– Não é reflexiva nem anti-simétrica nem transitiva.
– Não é relação de equivalência (falta reflexividade e transitividade).
– Não é ordem parcial (falta reflexividade, anti-simetria e transitividade) nem ordem total.
Resposta
A relação
é apenas simétrica; não é reflexiva, anti-simétrica nem transitiva. Portanto não é de equivalência nem de ordem (nem parcial nem total).