Seja f: Z Z definida por f(x):=x^2-7 x+10. Com respeito a relação de equivalência determinada por f (assim como no exercício anterior), descreva as classes de equivalência, a partição e o conjunto quociente associado.

Passo 1

O enunciado dá a função
fcolon ZtoZ, f(x)=x^2-7x+10
e nos pede para usar a relação de equivalência definida por
xsim yLong<=ftrightarrow f(x)=f(y)
O conteúdo é a construção de classes de equivalência via fibras de uma função, isto é, cada classe é o conjunto de inteiros que têm mesma imagem em f.

Passo 2

Pela definição, a classe de equivalência de um xinZ é
[x]=,yinZmid f(y)=f(x)
Para descrevê-la, resolvemos a equação
f(y)=f(x)
ou seja
y^2-7y+10 ;=; x^2-7x+10

Passo 3

Reescrevendo a igualdade e cancelando termos iguais, obtemos
y^2-7y -l(x^2-7xr)=0 Long<=ftrightarrow y^2-7y -x^2+7x=0
Agora fatoramos como diferença de produtos notando que
y^2-7y -x^2+7x = (y-x)(y+x-7)

Passo 4

Da fatoração (y-x)(y+x-7)=0 vem as duas soluções em Z:
y=x ou y=7-x
Portanto
[x]=,x,;7-x
Como não existe inteiro x tal que x=7-x (isto daria 2x=7, sem solução em Z), cada classe tem exatamente dois elementos.

Passo 5

A partição de Z induzida por sim é o conjunto de todas essas classes não vazias, ou seja
lk,7-kmid kinZr

Passo 6

O conjunto quociente Z/!sim é justamente a coleção dessas classes, que pode ser identificado com
l[k]mid kinZr = lk,7-kmid kinZr

Resposta

Classes de equivalência:
[x]=,x,;7-x, xinZ
Partição:
lk,7-kmid kinZr
Conjunto quociente:
Z/!sim = lk,7-kmid kinZr

Exercícios relacionados