Seja
definida por
. Com respeito a relação de equivalência determinada por
(assim como no exercício anterior), descreva as classes de equivalência, a partição e o conjunto quociente associado.
Passo 1
O enunciado dá a função
e nos pede para usar a relação de equivalência definida por
O conteúdo é a construção de classes de equivalência via fibras de uma função, isto é, cada classe é o conjunto de inteiros que têm mesma imagem em
.
Passo 2
Pela definição, a classe de equivalência de um
é
Para descrevê-la, resolvemos a equação
ou seja
Passo 3
Reescrevendo a igualdade e cancelando termos iguais, obtemos
Agora fatoramos como diferença de produtos notando que
Passo 4
Da fatoração
vem as duas soluções em
:
Portanto
Como não existe inteiro
tal que
(isto daria
, sem solução em
), cada classe tem exatamente dois elementos.
Passo 5
A partição de
induzida por
é o conjunto de todas essas classes não vazias, ou seja
Passo 6
O conjunto quociente
é justamente a coleção dessas classes, que pode ser identificado com
Resposta
Classes de equivalência:
Partição:
Conjunto quociente: