Para cada uma das relações abaixo, decida se ela é reflexiva, simétrica, anti-simétrica ou transitiva. Quais são de equivalência? E quais são de ordem (parcial ou total)?
R:=(a, a),(a, b),(a, c),(a, d),(a, e),(b, b),(b, c),(b, d),(b, e),(c, c),(c, d), (c, e),(d, d),(d, e),(e, e) subseteq X times X.

Passo 1

O enunciado dá a relação
R=(a,a),(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),;(b,b),(b,c),(b,d),(b,e),;(c,c),(c,d),(c,e),;(d,d),(d,e),;(e,e)
sobre X=a,b,c,d,e. Vamos usar as definições:
– Reflexiva: para todo xin X, (x,x)in R.
– Simétrica: se (x,y)in R então (y,x)in R.
– Anti-simétrica: se (x,y)in R e (y,x)in R então x=y.
– Transitiva: se (x,y)in R e (y,z)in R então (x,z)in R.
Relação de equivalência = reflexiva + simétrica + transitiva.
Relação de ordem parcial = reflexiva + anti-simétrica + transitiva.
Ordem total = ordem parcial + comparabilidade ( forall x,y, (x,y)in R ou (y,x)in R).

Passo 2

Verificando reflexividade: em R estão (a,a),(b,b),(c,c),(d,d),(e,e), ou seja, todo xin X aparece em (x,x). Logo R é reflexiva.

Passo 3

Verificando simetria: como (a,b)in R mas (b,a)notin R, a simetria falha. Portanto R não é simétrica.

Passo 4

Verificando anti-simetria: não existe par distinto (x,y)in R tal que (y,x)in R. Assim satisfaz a condição de anti-simetria, e R é anti-simétrica.

Passo 5

Verificando transitividade: a relação segue a cadeia ato bto cto dto e e, toda vez que (x,y) e (y,z) estão em R, também (x,z) está (por exemplo, (b,c) e (c,e) implicam (b,e), etc.). Conferindo todos os casos, R é transitiva.

Passo 6

Como R é reflexiva, anti-simétrica e transitiva, mas não simétrica, concluímos que
– não é relação de equivalência;
– é relação de ordem parcial;
– e, como para quaisquer x,yin X consta ou (x,y) ou (y,x) em R, é na verdade uma ordem total.

Resposta

R é reflexiva, anti-simétrica e transitiva (não simétrica); não é relação de equivalência; é uma relação de ordem parcial e ainda satisfaz a comparabilidade, logo é uma ordem total.

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