Para cada uma das relações abaixo, decida se ela é reflexiva, simétrica, anti-simétrica ou transitiva. Quais são de equivalência? E quais são de ordem (parcial ou total)?
,
.
Passo 1
O enunciado dá a relação
sobre
. Vamos usar as definições:
– Reflexiva: para todo ,
.
– Simétrica: se então
.
– Anti-simétrica: se e
então
.
– Transitiva: se e
então
.
Relação de equivalência reflexiva
simétrica
transitiva.
Relação de ordem parcial reflexiva
anti-simétrica
transitiva.
Ordem total ordem parcial
comparabilidade (
,
ou
).
– Reflexiva: para todo
– Simétrica: se
– Anti-simétrica: se
– Transitiva: se
Relação de equivalência
Relação de ordem parcial
Ordem total
Passo 2
Verificando reflexividade: em
estão
, ou seja, todo
aparece em
. Logo
é reflexiva.
Passo 3
Verificando simetria: como
mas
, a simetria falha. Portanto
não é simétrica.
Passo 4
Verificando anti-simetria: não existe par distinto
tal que
. Assim satisfaz a condição de anti-simetria, e
é anti-simétrica.
Passo 5
Verificando transitividade: a relação segue a cadeia
e, toda vez que
e
estão em
, também
está (por exemplo,
e
implicam
, etc.). Conferindo todos os casos,
é transitiva.
Passo 6
Como
é reflexiva, anti-simétrica e transitiva, mas não simétrica, concluímos que
– não é relação de equivalência;
– é relação de ordem parcial;
– e, como para quaisquer consta ou
ou
em
, é na verdade uma ordem total.
– não é relação de equivalência;
– é relação de ordem parcial;
– e, como para quaisquer