Obtenha as equações das hipérboles, dados os focos e a.
(a) (3,-3),(3,7), a=3

Passo 1

O enunciado dá os focos F1=(3,-3) e F2=(3,7) e o parâmetro a=3. Queremos a equação da hipérbole definida por
|,d(P,F2)-d(P,F1)|=2a,
onde P=(x,y).

Passo 2

Calculamos o centro C e a distância focal c. O centro é o ponto médio de F1F2:
C = l(3+32,-3+72r) = (3,2)
A distância c é a metade da distância entre os focos:
c = d(F1,F2)2 = raiz(3-3)^2+(7-(-3))^22 = 102 = 5
Como os focos estão alinhados verticalmente, a hipérbole tem eixo transverso vertical.

Passo 3

Usamos a relação entre a, b e c em hipérboles:
c^2 = a^2 + b^2 Longrightarrow b^2 = c^2 - a^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16

Passo 4

Para uma hipérbole com eixo transverso vertical e centro em (h,k)=(3,2), a forma padrão é
(y-k)^2a^2 ;-;(x-h)^2b^2 ;=;1
Substituindo a^2=9, b^2=16, h=3 e k=2, obtemos
(y-2)^29 ;-;(x-3)^216 ;=;1

Resposta

(y-2)^29 ;-;(x-3)^216 ;=;1

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