Para cada uma das relações abaixo, decida se ela é reflexiva, simétrica, anti-simétrica ou transitiva. Quais são de equivalência? E quais são de ordem (parcial ou total)?
R:=(a, a),(a, b),(a, e),(b, a),(b, b),(d, d),(e, a),(e, e) subseteq X times X.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a relação
R = (a,a),(a,b),(a,e),(b,a),(b,b),(d,d),(e,a),(e,e)
sobre o conjunto
X = a,b,d,e
Vamos verificar se R é reflexiva, simétrica, anti-simétrica e transitiva e, a partir disso, se é relação de equivalência ou de ordem.

Passo 2

Verificação da reflexividade: precisamos que (x,x)in R para todo xin X. Observamos que
(a,a), (b,b), (d,d) e (e,e)
estão em R. Logo, R é reflexiva.

Passo 3

Verificação da simetria: sempre que (x,y)in R deve ocorrer (y,x)in R. Em particular,
(a,b)in R e (b,a)in R,
(a,e)in R e (e,a)in R,
além dos pares diagonais que são triviais. Assim, R é simétrica.

Passo 4

Verificação da anti-simetria: se (x,y)in R e (y,x)in R com xneq y, isso não pode ocorrer em uma relação anti-simétrica. Aqui temos (a,b) e (b,a) com aneq b, violando a anti-simetria. Logo, R não é anti-simétrica.

Passo 5

Verificação da transitividade: sempre que (x,y)in R e (y,z)in R deve ocorrer (x,z)in R. Um contraexemplo é
(e,a)in R e (a,b)in R
mas (e,b)notin R. Logo, R não é transitiva.

Passo 6

Conclusões finais: R é reflexiva e simétrica, mas não é anti-simétrica nem transitiva. Portanto, não satisfaz as condições de uma relação de equivalência (falta transitividade) nem as de uma relação de ordem (falta anti-simetria e transitividade).

Resposta

Reflexiva: sim
Simétrica: sim
Anti-simétrica: não
Transitiva: não
Relação de equivalência: não
Relação de ordem (parcial ou total): não

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