Para cada uma das relações abaixo, decida se ela é reflexiva, simétrica, anti-simétrica ou transitiva. Quais são de equivalência? E quais são de ordem (parcial ou total)?
.
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos a relação
sobre o conjunto
Vamos verificar se
é reflexiva, simétrica, anti-simétrica e transitiva e, a partir disso, se é relação de equivalência ou de ordem.
Passo 2
Verificação da reflexividade: precisamos que
para todo
. Observamos que
,
,
e
estão em . Logo,
é reflexiva.
estão em
Passo 3
Verificação da simetria: sempre que
deve ocorrer
. Em particular,
e
,
e
,
além dos pares diagonais que são triviais. Assim, é simétrica.
além dos pares diagonais que são triviais. Assim,
Passo 4
Verificação da anti-simetria: se
e
com
, isso não pode ocorrer em uma relação anti-simétrica. Aqui temos
e
com
, violando a anti-simetria. Logo,
não é anti-simétrica.
Passo 5
Verificação da transitividade: sempre que
e
deve ocorrer
. Um contraexemplo é
e
mas . Logo,
não é transitiva.
mas
Passo 6
Conclusões finais:
é reflexiva e simétrica, mas não é anti-simétrica nem transitiva. Portanto, não satisfaz as condições de uma relação de equivalência (falta transitividade) nem as de uma relação de ordem (falta anti-simetria e transitividade).
Resposta
Reflexiva: sim
Simétrica: sim
Anti-simétrica: não
Transitiva: não
Relação de equivalência: não
Relação de ordem (parcial ou total): não
Simétrica: sim
Anti-simétrica: não
Transitiva: não
Relação de equivalência: não
Relação de ordem (parcial ou total): não