Para cada uma das relações abaixo, decida se ela é reflexiva, simétrica, anti-simétrica ou transitiva. Quais são de equivalência? E quais são de ordem (parcial ou total)?
.
Onde
.
Onde
Passo 1
O enunciado apresenta a relação
em
.
O conteúdo envolve as propriedades de relações binárias: reflexividade, simetria, anti-simetria e transitividade, além da classificação como relação de equivalência e como ordem (parcial ou total).
O conteúdo envolve as propriedades de relações binárias: reflexividade, simetria, anti-simetria e transitividade, além da classificação como relação de equivalência e como ordem (parcial ou total).
Passo 2
Verificamos a reflexividade.
Por definição, uma relação em é reflexiva se para todo
tivermos
.
Como contém exatamente
, ou seja, todos os
para
, concluímos que
Por definição, uma relação em
Como
Passo 3
Verificamos a simetria.
Uma relação é simétrica se sempre que então
.
Em só aparecem pares da forma
. Para cada
temos trivialmente
. Logo
Uma relação é simétrica se sempre que
Em
Passo 4
Verificamos a anti-simetria.
Uma relação é anti-simétrica se sempre que e
ocorrem, então
.
Em não existem pares distintos com
, portanto nunca teremos
e
para
. Isso satisfaz a condição vacuamente, logo
Uma relação é anti-simétrica se sempre que
Em
Passo 5
Verificamos a transitividade.
Uma relação é transitiva se sempre que e
ocorrem, então
.
Como todos os pares são da forma , os únicos “caminhos” possíveis usam
, e claramente
. Assim
Uma relação é transitiva se sempre que
Como todos os pares são da forma
Passo 6
Classificação como relação de equivalência.
Relação de equivalência exige reflexividade, simetria e transitividade. Como satisfaz as três, concluímos que
Relação de equivalência exige reflexividade, simetria e transitividade. Como
Passo 7
Classificação como relação de ordem.
Ordem parcial exige reflexividade, anti-simetria e transitividade; satisfaz essas três, logo é ordem parcial.
Para ser ordem total, deveria valer para todo que
ou
. Para
nenhum desses pares está em
, portanto não é ordem total.
Ordem parcial exige reflexividade, anti-simetria e transitividade;
Para ser ordem total, deveria valer para todo
Resposta
R é reflexiva, simétrica, anti-simétrica e transitiva.
R é uma relação de equivalência.
R é uma relação de ordem parcial, mas não de ordem total.
R é uma relação de equivalência.
R é uma relação de ordem parcial, mas não de ordem total.