Para cada uma das relações abaixo, decida se ela é reflexiva, simétrica, anti-simétrica ou transitiva. Quais são de equivalência? E quais são de ordem (parcial ou total)?
R:=(a, a),(b, b),(c, c),(d, d),(e, e) subseteq X times X.
Onde X:=a, b, c, d, e.

Passo 1

O enunciado apresenta a relação
R = (a,a),(b,b),(c,c),(d,d),(e,e)
em X=a,b,c,d,e.
O conteúdo envolve as propriedades de relações binárias: reflexividade, simetria, anti-simetria e transitividade, além da classificação como relação de equivalência e como ordem (parcial ou total).

Passo 2

Verificamos a reflexividade.
Por definição, uma relação em X é reflexiva se para todo xin X tivermos (x,x)in R.
Como R contém exatamente (a,a),(b,b),(c,c),(d,d),(e,e), ou seja, todos os (x,x) para xin X, concluímos que
R é ref<=xiva é

Passo 3

Verificamos a simetria.
Uma relação é simétrica se sempre que (x,y)in R então (y,x)in R.
Em R só aparecem pares da forma (x,x). Para cada (x,x) temos trivialmente (x,x)in R. Logo
R é simétrica éé

Passo 4

Verificamos a anti-simetria.
Uma relação é anti-simétrica se sempre que (x,y)in R e (y,x)in R ocorrem, então x=y.
Em R não existem pares distintos com xneq y, portanto nunca teremos (x,y) e (y,x) para xneq y. Isso satisfaz a condição vacuamente, logo
R é anti-simétrica éé

Passo 5

Verificamos a transitividade.
Uma relação é transitiva se sempre que (x,y)in R e (y,z)in R ocorrem, então (x,z)in R.
Como todos os pares são da forma (x,x), os únicos “caminhos” possíveis usam x=y=z, e claramente (x,x)in R. Assim
R é transitiva é

Passo 6

Classificação como relação de equivalência.
Relação de equivalência exige reflexividade, simetria e transitividade. Como R satisfaz as três, concluímos que
R é uma relação de equivalência (as classes são (a,b,dots,e)) éçãêã

Passo 7

Classificação como relação de ordem.
Ordem parcial exige reflexividade, anti-simetria e transitividade; R satisfaz essas três, logo é ordem parcial.
Para ser ordem total, deveria valer para todo x,yin X que (x,y)in R ou (y,x)in R. Para xneq y nenhum desses pares está em R, portanto não é ordem total.

Resposta

R é reflexiva, simétrica, anti-simétrica e transitiva.
R é uma relação de equivalência.
R é uma relação de ordem parcial, mas não de ordem total.

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