Determine uma equação da hipérbole que satisfaça as condições dadas e esboce o gráfico: vértices ( pm 4,0) e passando pelo ponto (8, 2);

Passo 1

O enunciado pede uma hipérbole com vértices em (pm4,0) e que passe pelo ponto (8,2).
Conteúdo: forma padrão da hipérbole com eixo transverso horizontal,
x^2a^2-y^2b^2=1,
onde a é a distância do centro ( 0,0) até cada vértice.

Passo 2

Como os vértices são (pm4,0), temos centro em (0,0) e
a=4, a^2=16,
logo a hipérbole tem a forma
x^216-y^2b^2=1

Passo 3

Impondo que (8,2) satisfaça a equação, substituímos e obtemos
8^216-2^2b^2=1 ;Longrightarrow; 6416-4b^2=1 ;Longrightarrow; 4-4b^2=1 ;Longrightarrow; 4b^2=3 ;Longrightarrow; b^2=43

Passo 4

Substituindo b^2=tfrac43 na forma padrão, a equação final é
x^216-y^24/3=1 ou x^216-3y^24=1

Passo 5

Esboço do gráfico:
bul<=t Centro em (0,0).
bul<=t Vértices em (pm4,0).
bul<=t Ramos abertos para a direita e para a esquerda.
bul<=t A assíntota tem inclinação pmba=pm2/raiz34=pm12raiz3, ou seja
y=pmx2raiz3
bul<=t O ponto (8,2) está em um dos ramos, confirmando a forma da curva.

Resposta

x^216-3y^24=1

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