Em cada uma das seguintes afirmações diga se é verdadeira ou falsa e justifique.
Seja f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} diferenciável de 2^{\circ} ordem contínuas tal que f_{x}(6,1)=f_{y}(6,1)=0. Se f_{x x}(6,1) f_{y y}(6,1)<0; então (6,1) é um ponto de sela de f.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} é duas vezes diferenciável com derivadas contínuas (classe C^2).
  • No ponto (6,1) temos \;f_x(6,1)=0 e \;f_y(6,1)=0.
  • Além disso, \;f_{xx}(6,1)\,f_{yy}(6,1)<0.
A pergunta é: a afirmação "então (6,1) é um ponto de sela de f" é verdadeira ou falsa? Justificar.

Passo 2

Primeiro vamos lembrar claramente o que significa ser ponto de sela e o que significa ser ponto crítico.
  • Um ponto (a,b) é ponto crítico quando o gradiente é nulo, isto é, \;f_x(a,b)=0 e \;f_y(a,b)=0. No enunciado (6,1) é um ponto crítico.
  • Um ponto crítico (a,b) é ponto de sela se não for nem mínimo local nem máximo local. Uma forma prática de verificar isso é mostrar que existem direções h em que f aumenta e outras direções em que f diminui ao sair de (a,b).

Passo 3

Como f é C^2, podemos considerar a matriz Hessiana de f em (6,1), que é a matriz simétrica
H=\begin{pmatrix} f_{xx}(6,1) & f_{xy}(6,1)\\[4pt] f_{yx}(6,1) & f_{yy}(6,1) \end{pmatrix},
onde vale f_{xy}(6,1)=f_{yx}(6,1) por igualdade das derivadas mistas (teorema de Clairaut), já que as derivadas são contínuas. Definimos o determinante da Hessiana como
D=\det H = f_{xx}(6,1)\,f_{yy}(6,1) - \bigl(f_{xy}(6,1)\bigr)^2.]

Passo 4

Agora explico o teste de segunda derivada (forma correta e porquê funciona), que será usado na justificativa:
  • Se D<0, então a Hessiana tem autovalores de sinais opostos (porque a matriz é simétrica, logo tem autovalores reais, e o produto das autofes é D). Autovalores com sinais opostos significam que a forma quadrática associada à Hessiana é indefinida, isto é, existem vetores v tais que v^T H v>0 e outros vetores w tais que w^T H w<0.
  • Pelo desenvolvimento de Taylor de segunda ordem em torno de um ponto crítico (a,b) (onde o termo linear desaparece), temos
f(a+h,b+k)=f(a,b)+\tfrac{1}{2}\begin{pmatrix}h & k\end{pmatrix} H \begin{pmatrix}h\\[2pt]k\end{pmatrix}+o\bigl(\|(h,k)\|^2\bigr).
Se a forma quadrática q(h,k)=\tfrac{1}{2}(h,k)H(h,k)^T é indefinida, então para pequenos deslocamentos existem direções em que q>0 (a função aumenta) e direções em que q<0 (a função diminui). Assim, o ponto crítico é um ponto de sela.]

Passo 5

Usando a hipótese do enunciado, que é \;f_{xx}(6,1)\,f_{yy}(6,1)<0, verificamos o sinal de D:
D=f_{xx}(6,1)\,f_{yy}(6,1) - \bigl(f_{xy}(6,1)\bigr)^2 < f_{xx}(6,1)\,f_{yy}(6,1) < 0,
pois \bigl(f_{xy}(6,1)\bigr)^2\ge 0. Logo D<0.
Pelo argumento do passo anterior, D<0 implica que a forma quadrática dada pela Hessiana é indefinida e, portanto, o ponto crítico (6,1) é um ponto de sela de f.

Passo 6

Para fixar a ideia, um exemplo simples: \;g(x,y)=x^2-y^2. Em (0,0) tem-se g_x=g_y=0 e g_{xx}=2,\;g_{yy}=-2, cujo produto é negativo. De fato (0,0) é um ponto de sela porque ao mover-se na direção (1,0) a função aumenta e na direção (0,1) ela diminui. Esse exemplo ilustra exatamente a situação do enunciado.

Resposta

Verdadeira.

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