Em cada uma das seguintes afirmações diga se é verdadeira ou falsa e justifique.
Seja
diferenciável de
ordem contínuas tal que
. Se
; então
é um ponto de sela de
.
Seja
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
-
é duas vezes diferenciável com derivadas contínuas (classe ). - No ponto
temos e . - Além disso,
.
A pergunta é: a afirmação "então
é um ponto de sela de
" é verdadeira ou falsa? Justificar.
Passo 2
Primeiro vamos lembrar claramente o que significa ser ponto de sela e o que significa ser ponto crítico.
- Um ponto
é ponto crítico quando o gradiente é nulo, isto é, e . No enunciado é um ponto crítico. - Um ponto crítico
é ponto de sela se não for nem mínimo local nem máximo local. Uma forma prática de verificar isso é mostrar que existem direções em que aumenta e outras direções em que diminui ao sair de .
Passo 3
Como
é
, podemos considerar a matriz Hessiana de
em
, que é a matriz simétrica
onde vale
por igualdade das derivadas mistas (teorema de Clairaut), já que as derivadas são contínuas. Definimos o determinante da Hessiana como
Passo 4
Agora explico o teste de segunda derivada (forma correta e porquê funciona), que será usado na justificativa:
- Se
, então a Hessiana tem autovalores de sinais opostos (porque a matriz é simétrica, logo tem autovalores reais, e o produto das autofes é ). Autovalores com sinais opostos significam que a forma quadrática associada à Hessiana é indefinida, isto é, existem vetores tais que e outros vetores tais que . - Pelo desenvolvimento de Taylor de segunda ordem em torno de um ponto crítico
(onde o termo linear desaparece), temos
Se a forma quadrática
é indefinida, então para pequenos deslocamentos existem direções em que
(a função aumenta) e direções em que
(a função diminui). Assim, o ponto crítico é um ponto de sela.]
Passo 5
Usando a hipótese do enunciado, que é
, verificamos o sinal de
:
pois
. Logo
.
Pelo argumento do passo anterior,
implica que a forma quadrática dada pela Hessiana é indefinida e, portanto, o ponto crítico
é um ponto de sela de
.
Passo 6
Para fixar a ideia, um exemplo simples:
. Em
tem-se
e
, cujo produto é negativo. De fato
é um ponto de sela porque ao mover-se na direção
a função aumenta e na direção
ela diminui. Esse exemplo ilustra exatamente a situação do enunciado.
Resposta
Verdadeira.