1. Seja f(x, y) diferenciável e suponha que em um ponto P a derivada direcional na direção de \vec{u}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right) vale 5 , e na de \mathbf{v}=\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right) vale 3 . Determine o gradiente de f em P e a derivada direcional na direção do vetor \vec{w}=(1,0).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (todas extraídas do enunciado):
  • A função f(x,y) é diferenciável em um ponto P.
  • A derivada direcional de f em P na direção de \vec{u}=\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2},\dfrac{1}{2}\right) vale 5.
  • A derivada direcional de f em P na direção de \vec{v}=\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) vale 3.
  • Precisa-se determinar:
    1. O gradiente de f em P, isto é \nabla f(P).
    2. A derivada direcional de f em P na direção do vetor \vec{w}=(1,0).

Passo 2

Conceito-chave (explicação didática): para uma função diferenciável f em P, a derivada direcional de f em P na direção de um vetor unitário \mathbf{e} é o produto escalar do gradiente de f em P com \mathbf{e}. Em notação,
D_{\mathbf{e}}f(P)=\nabla f(P)\cdot \mathbf{e}.
Aqui \nabla f(P)=(\partial f/\partial x(P),\partial f/\partial y(P)) é o vetor que reúne as taxas de variação de f nas direções dos eixos. Intuitivamente, a derivada direcional mede a inclinação de f ao mover-se em P na direção \mathbf{e}; a relação com o produto escalar aparece porque o gradiente aponta na direção de máxima subida e o produto escalar projeta essa subida na direção desejada.

Passo 3

Aplicando o conceito aos dados: suponha
\nabla f(P)=(a,b).
Como as direções \vec{u} e \vec{v} dadas são unitárias (verificação rápida: \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{4}=1), vale
\nabla f(P)\cdot \vec{u}=5,\qquad \nabla f(P)\cdot \vec{v}=3.
Escrevendo as componentes isso dá o sistema
\left\{ \begin{aligned} a\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}+b\cdot \dfrac{1}{2}&=5,\\[6pt] a\cdot \dfrac{1}{2}+b\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}&=3. \end{aligned} \right.]

Passo 4

Para simplificar as contas, multiplico cada equação por 2 para eliminar os denominadores:
\left\{ \begin{aligned} \sqrt{3}\,a + b &= 10,\\[6pt] a + \sqrt{3}\,b &= 6. \end{aligned} \right.
Agora resolvemos esse sistema linear de duas equações para a e b.]

Passo 5

Resolução por eliminação (passo a passo):
  • Multiplico a segunda equação por \sqrt{3}:
\sqrt{3}\,a + 3b = 6\sqrt{3}.
  • Subtraio a primeira equação \big(\sqrt{3}\,a + b = 10\big) da equação acima:
(\sqrt{3}\,a + 3b) - (\sqrt{3}\,a + b) = 6\sqrt{3} - 10.
Isso simplifica para
2b = 6\sqrt{3} - 10.
  • Logo
b = 3\sqrt{3} - 5.
  • Substituo b na segunda equação original a + \sqrt{3}\,b = 6:
a + \sqrt{3}\,(3\sqrt{3}-5)=6.
Calculo \sqrt{3}\cdot 3\sqrt{3}=3\cdot 3=9. Então
a + 9 - 5\sqrt{3} = 6.
  • Isolando a:
a = 6 - 9 + 5\sqrt{3} = -3 + 5\sqrt{3}.

Passo 6

Portanto encontramos as componentes do gradiente:
\nabla f(P)=\bigl(5\sqrt{3}-3,\;3\sqrt{3}-5\bigr).
Como verificação rápida, pode-se substituir essas componentes nas equações iniciais e confirmar que retornam 5 e 3 respectivamente (cheque feito nos cálculos).

Passo 7

Agora a derivada direcional na direção de \vec{w}=(1,0):
  • Primeiro, verificar se \vec{w} é um vetor unitário. O comprimento é \sqrt{1^2+0^2}=1, então já é unitário.
  • Pela fórmula, D_{\vec w}f(P)=\nabla f(P)\cdot \vec w. Como \vec w=(1,0), o produto escalar seleciona a primeira componente do gradiente:
D_{\vec w}f(P)=5\sqrt{3}-3.

Passo 8

Interpretação curta e incentivo: então o gradiente é o par de números que encontramos; a derivada direcional na direção horizontal (para a direita) é exatamente a primeira componente do gradiente. Isso faz sentido: mover-se na direção (1,0) muda a função segundo a taxa \partial f/\partial x. Vai dar tudo certo na prova — repete esse tipo de sistema e a técnica de projetar o gradiente nas direções e fica tranquilo!

Resposta

\nabla f(P)=\bigl(5\sqrt{3}-3,\;3\sqrt{3}-5\bigr)
D_{\vec w}f(P)=5\sqrt{3}-3

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