Seja f(x, y) diferenciável e suponha que em um ponto P a derivada direcional na direção de \vec{u}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right) vale 5 , e na de \mathbf{v}=\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right) vale 3 . Determine o gradiente de f em P e a derivada direcional na direção do vetor \vec{w}=(1,0).
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (todas extraídas do enunciado):
A função f(x,y) é diferenciável em um ponto P.
A derivada direcional de f em P na direção de \vec{u}=\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2},\dfrac{1}{2}\right) vale 5.
A derivada direcional de f em P na direção de \vec{v}=\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) vale 3.
Precisa-se determinar:
O gradiente de f em P, isto é \nabla f(P).
A derivada direcional de f em P na direção do vetor \vec{w}=(1,0).
Passo 2
Conceito-chave (explicação didática): para uma função diferenciável f em P, a derivada direcional de f em P na direção de um vetor unitário \mathbf{e} é o produto escalar do gradiente de f em P com \mathbf{e}. Em notação,
D_{\mathbf{e}}f(P)=\nabla f(P)\cdot \mathbf{e}.
Aqui \nabla f(P)=(\partial f/\partial x(P),\partial f/\partial y(P)) é o vetor que reúne as taxas de variação de f nas direções dos eixos. Intuitivamente, a derivada direcional mede a inclinação de f ao mover-se em P na direção \mathbf{e}; a relação com o produto escalar aparece porque o gradiente aponta na direção de máxima subida e o produto escalar projeta essa subida na direção desejada.
Passo 3
Aplicando o conceito aos dados: suponha
\nabla f(P)=(a,b).
Como as direções \vec{u} e \vec{v} dadas são unitárias (verificação rápida: \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{4}=1), vale
Como verificação rápida, pode-se substituir essas componentes nas equações iniciais e confirmar que retornam 5 e 3 respectivamente (cheque feito nos cálculos).
Passo 7
Agora a derivada direcional na direção de \vec{w}=(1,0):
Primeiro, verificar se \vec{w} é um vetor unitário. O comprimento é \sqrt{1^2+0^2}=1, então já é unitário.
Pela fórmula, D_{\vec w}f(P)=\nabla f(P)\cdot \vec w. Como \vec w=(1,0), o produto escalar seleciona a primeira componente do gradiente:
D_{\vec w}f(P)=5\sqrt{3}-3.
Passo 8
Interpretação curta e incentivo: então o gradiente é o par de números que encontramos; a derivada direcional na direção horizontal (para a direita) é exatamente a primeira componente do gradiente. Isso faz sentido: mover-se na direção (1,0) muda a função segundo a taxa \partial f/\partial x. Vai dar tudo certo na prova — repete esse tipo de sistema e a técnica de projetar o gradiente nas direções e fica tranquilo!