5 A profundidade de um lago, dada em metros e medida desde o ponto da superfície ( x, y ), é dada por h=0,2 x^{2}-0,01 y^{3}. Uma boia se encontra no ponto ( 0,0 ).
(a) Se um nadador parte do ponto (40,30) em direção à boia, a profundidade aumenta ou diminui quando ele começa a se mover? Justifique sua resposta!
(b) Partindo do ponto (40,30), em qual direção e sentido o nadador deve se mover, de modo que a profundidade decresça mais rapidamente? Justifique sua resposta!

Passo 1

O enunciado e os dados que temos (copiados exatamente do problema):
  • A profundidade do lago, medida em metros a partir da superfície no ponto (x,y), é dada por h(x,y)=0{,}2x^{2}-0{,}01y^{3}.
  • A boia está em (0,0).
  • O nadador parte do ponto (40,30) em direção à boia (0,0).
O que o problema pede:
(a) Ao começar a mover-se do ponto (40,30) em direção à boia (0,0), a profundidade aumenta ou diminui? Justificar.
(b) Partindo de (40,30), em qual direção e sentido o nadador deve se mover para que a profundidade decresça mais rapidamente? Justificar.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicados devagarinho):
  • Para saber como a função h(x,y) varia quando nos movemos numa certa direção, usamos a derivada direcional nessa direção. A derivada direcional de h na direção do vetor unitário \mathbf{u} é o produto escalar entre o gradiente de h e \mathbf{u}:
D_{\mathbf{u}}h(x,y)=\nabla h(x,y)\cdot \mathbf{u}.
  • O gradiente \nabla h(x,y) é um vetor cujas componentes são as derivadas parciais de h:
\nabla h(x,y)=\left(\frac{\partial h}{\partial x}(x,y),\\ \frac{\partial h}{\partial y}(x,y)\right).
Intuição: \nabla h aponta na direção de maior crescimento de h e seu módulo \|\nabla h\| é a taxa máxima de crescimento por unidade de deslocamento. O sentido oposto -\nabla h é a direção de decrescimento mais rápido.
  • Para aplicar a fórmula da derivada direcional é preciso usar um vetor unitário \mathbf{u} (comprimento 1) que indique o sentido do movimento. Se \mathbf{v} é um vetor qualquer na direção do movimento, então \mathbf{u}=\dfrac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|}.
Agora vamos calcular as derivadas parciais de h.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de h(x,y)=0{,}2x^{2}-0{,}01y^{3}:
  • Derivada parcial em relação a x:
\frac{\partial h}{\partial x}(x,y)=0{,}2\cdot 2x=0{,}4x.
Aqui foi usado que a derivada de x^{2} é 2x, e o coeficiente 0{,}2 multiplica.
  • Derivada parcial em relação a y:
\frac{\partial h}{\partial y}(x,y)=-0{,}01\cdot 3y^{2}=-0{,}03y^{2}.
A derivada de y^{3} é 3y^{2}, e o coeficiente -0{,}01 multiplica.
Portanto o gradiente geral é
\nabla h(x,y)=\bigl(0{,}4x,\\\ -0{,}03y^{2}\bigr).
Avaliar o gradiente no ponto (40,30):
\nabla h(40,30)=\bigl(0{,}4\cdot 40,\\\ -0{,}03\cdot 30^{2}\bigr)=\bigl(16,\\\ -0{,}03\cdot 900\bigr)=\bigl(16,\\\ -27\bigr).
Interpretação rápida: em (40,30) o vetor (16,-27) aponta na direção de crescimento mais rápido de h; componentes positivas/negativas indicam como h varia com x e y.

Passo 4

Queremos a derivada direcional de h quando o nadador se move do ponto (40,30) em direção à boia (0,0). Primeiro formamos o vetor que aponta de (40,30) para (0,0):
\mathbf{v}=(0-40,\\\ 0-30)=(-40,\\\ -30).
O comprimento desse vetor é
\|\mathbf{v}\|=\sqrt{(-40)^{2}+(-30)^{2}}=\sqrt{1600+900}=\sqrt{2500}=50.
O vetor unitário na direção da boia é
\mathbf{u}=\frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|}=\left(-\frac{40}{50},\\\ -\frac{30}{50}\right)=\left(-\frac{4}{5},\\\ -\frac{3}{5}\right).
Agora a derivada direcional em \mathbf{u} é
D_{\mathbf{u}}h(40,30)=\nabla h(40,30)\cdot \mathbf{u}=(16,\\\ -27)\cdot\left(-\frac{4}{5},\\\ -\frac{3}{5}\right).
Calculando o produto escalar:
D_{\mathbf{u}}h(40,30)=16\cdot\left(-\frac{4}{5}\right)+(-27)\cdot\left(-\frac{3}{5}\right)=-\frac{64}{5}+\frac{81}{5}=\frac{17}{5}=3{,}4.
Conclusão da parte (a): como D_{\mathbf{u}}h(40,30)=3{,}4>0, ao começar a mover-se rumo à boia a profundidade aumenta (positiva significa aumento de h). Em palavras: nos primeiros passos em direção à boia o lago fica mais fundo, a uma taxa de 3{,}4 metros de profundidade por metro percorrido nessa direção.

Passo 5

Queremos a direção em que a profundidade decresce mais rapidamente saindo de (40,30).
  • Teoria curta e direta: a direção de decrescimento mais rápido é a direção do negativo do gradiente, isto é, -\nabla h(40,30). O valor máximo (mais negativo) da derivada direcional é -\|\nabla h(40,30)\|, atingido pela unidade \mathbf{u}=-\dfrac{\nabla h}{\|\nabla h\|}.
  • Já calculamos \nabla h(40,30)=(16,-27). Então
-\nabla h(40,30)=(-16,\\\ 27).
O módulo de \nabla h(40,30) é
\|\nabla h(40,30)\|=\sqrt{16^{2}+(-27)^{2}}=\sqrt{256+729}=\sqrt{985}.
A direção unitária do decrescimento mais rápido é
\mathbf{u}_{\text{dec}}=\frac{-\nabla h(40,30)}{\|\nabla h(40,30)\|}=\frac{(-16,\\\ 27)}{\sqrt{985}}.
Valores aproximados:
\sqrt{985}\approx 31{,}401,\qquad \mathbf{u}_{\text{dec}}\approx (-0{,}5096,\\\ 0{,}8604).
A taxa máxima de diminuição (valor da derivada direcional mais negativa) é
D_{\mathbf{u}_{\text{dec}}}h(40,30)=-\|\nabla h(40,30)\|=-\sqrt{985}\approx -31{,}401.
Interpretação: para diminuir a profundidade o mais rápido possível, o nadador deve mover-se na direção do vetor (-16,27) (ou qualquer múltiplo positivo dele), isto é, em sentido de diminuir x e aumentar y simultaneamente, com o vetor unitário acima. Nessa direção a profundidade decresce aproximadamente 31{,}4 metros por metro percorrido (taxa negativa significa diminuição).

Resposta

(a) A profundidade aumenta; a derivada direcional na direção da boia é D_{\mathbf{u}}h(40,30)=\dfrac{17}{5}=3{,}4.
(b) Direção e sentido de decrescimento mais rápido: -\nabla h(40,30)=(-16,27). Unidade: \dfrac{(-16,27)}{\sqrt{985}}. Taxa máxima de diminuição: -\sqrt{985}\approx -31{,}401.

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