5 A profundidade de um lago, dada em metros e medida desde o ponto da superfície (
), é dada por
. Uma boia se encontra no ponto ( 0,0 ).
(a) Se um nadador parte do ponto
em direção à boia, a profundidade aumenta ou diminui quando ele começa a se mover? Justifique sua resposta!
(b) Partindo do ponto
, em qual direção e sentido o nadador deve se mover, de modo que a profundidade decresça mais rapidamente? Justifique sua resposta!
(a) Se um nadador parte do ponto
(b) Partindo do ponto
Passo 1
O enunciado e os dados que temos (copiados exatamente do problema):
- A profundidade do lago, medida em metros a partir da superfície no ponto
, é dada por . - A boia está em
. - O nadador parte do ponto
em direção à boia .
O que o problema pede:
(a) Ao começar a mover-se do ponto em direção à boia
, a profundidade aumenta ou diminui? Justificar.
(b) Partindo de , em qual direção e sentido o nadador deve se mover para que a profundidade decresça mais rapidamente? Justificar.
(a) Ao começar a mover-se do ponto
(b) Partindo de
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicados devagarinho):
- Para saber como a função
varia quando nos movemos numa certa direção, usamos a derivada direcional nessa direção. A derivada direcional de na direção do vetor unitário é o produto escalar entre o gradiente de e :
- O gradiente
é um vetor cujas componentes são as derivadas parciais de :
Intuição:
aponta na direção de maior crescimento de
e seu módulo
é a taxa máxima de crescimento por unidade de deslocamento. O sentido oposto
é a direção de decrescimento mais rápido.
- Para aplicar a fórmula da derivada direcional é preciso usar um vetor unitário
(comprimento 1) que indique o sentido do movimento. Se é um vetor qualquer na direção do movimento, então .
Agora vamos calcular as derivadas parciais de
.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
:
- Derivada parcial em relação a
:
Aqui foi usado que a derivada de
é
, e o coeficiente
multiplica.
- Derivada parcial em relação a
:
A derivada de
é
, e o coeficiente
multiplica.
Portanto o gradiente geral é
Avaliar o gradiente no ponto
:
Interpretação rápida: em
o vetor
aponta na direção de crescimento mais rápido de
; componentes positivas/negativas indicam como
varia com
e
.
Passo 4
Queremos a derivada direcional de
quando o nadador se move do ponto
em direção à boia
. Primeiro formamos o vetor que aponta de
para
:
O comprimento desse vetor é
O vetor unitário na direção da boia é
Agora a derivada direcional em
é
Calculando o produto escalar:
Conclusão da parte (a): como
, ao começar a mover-se rumo à boia a profundidade aumenta (positiva significa aumento de
). Em palavras: nos primeiros passos em direção à boia o lago fica mais fundo, a uma taxa de
metros de profundidade por metro percorrido nessa direção.
Passo 5
Queremos a direção em que a profundidade decresce mais rapidamente saindo de
.
- Teoria curta e direta: a direção de decrescimento mais rápido é a direção do negativo do gradiente, isto é,
. O valor máximo (mais negativo) da derivada direcional é , atingido pela unidade . - Já calculamos
. Então
O módulo de
é
A direção unitária do decrescimento mais rápido é
Valores aproximados:
A taxa máxima de diminuição (valor da derivada direcional mais negativa) é
Interpretação: para diminuir a profundidade o mais rápido possível, o nadador deve mover-se na direção do vetor
(ou qualquer múltiplo positivo dele), isto é, em sentido de diminuir
e aumentar
simultaneamente, com o vetor unitário acima. Nessa direção a profundidade decresce aproximadamente
metros por metro percorrido (taxa negativa significa diminuição).
Resposta
(a) A profundidade aumenta; a derivada direcional na direção da boia é
.
(b) Direção e sentido de decrescimento mais rápido: . Unidade:
. Taxa máxima de diminuição:
.
(b) Direção e sentido de decrescimento mais rápido: