Classifique os pontos críticos das funções em \mathbb{R}^{2} a seguir:
1.
f(x, y)=x^{2}+y^{3}-2 x-3 y^{2}+3 y

Passo 1

O enunciado dá a função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}
f(x,y)=x^{2}+y^{3}-2x-3y^{2}+3y
e pede para classificar os pontos críticos desta função.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função é explícita em x e y.
  • Um “ponto crítico” é um ponto onde o gradiente de f é o vetor nulo (ou onde derivadas parciais não existem, o que não ocorre aqui).
  • A classificação típica pede dizer se cada ponto crítico é mínimo local, máximo local ou ponto de sela (ou, se o teste padrão falhar, dizer que é degenerado e investigar mais).
O que vamos procurar:
  • Calcular as derivadas parciais \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y}.
  • Resolver o sistema \nabla f(x,y)=0 para achar os pontos críticos.
  • Usar a matriz Hessiana e o teste das segundas derivadas para tentar classificar; se esse teste for inconclusivo, analisar a função perto do ponto (expansão em torno do ponto) para decidir.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais e encontrar os pontos críticos.
Derivadas parciais:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2x-2, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=3y^{2}-6y+3.
Explicando rápido: \dfrac{\partial f}{\partial x} é a derivada de f em relação a x tratando y como constante; similar para \dfrac{\partial f}{\partial y}.
Resolver \nabla f=0:
2x-2=0 \quad\Rightarrow\quad x=1.
3y^{2}-6y+3=0 \quad\Rightarrow\quad 3(y^{2}-2y+1)=0 \quad\Rightarrow\quad 3(y-1)^{2}=0 \quad\Rightarrow\quad y=1.
Logo há um único ponto crítico: (x,y)=(1,1).

Passo 3

Montar a matriz Hessiana e aplicar o teste das segundas derivadas (teste de Hessian) em (1,1).
Cálculo das segundas derivadas:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}(x,y)=2, \qquad \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}(x,y)=6y-6, \qquad \frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}(x,y)=0.
Avaliar em (1,1):
f_{xx}(1,1)=2,\qquad f_{yy}(1,1)=6\cdot1-6=0,\qquad f_{xy}(1,1)=0.
Determinante do Hessiano em (1,1):
D = f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^{2}=2\cdot 0 - 0 = 0.
Explicando a regra usada: para uma função f(x,y), se D>0 e f_{xx}>0 então tem mínimo local; se D>0 e f_{xx}<0 então tem máximo local; se D<0 então ponto de sela. Se D=0 o teste é inconclusivo — não diz se é mínimo, máximo ou sela. Aqui obtivemos D=0, então precisamos analisar mais fino o comportamento de f perto do ponto.

Passo 4

Investigar a natureza do ponto crítico usando expansão centrada em (1,1) (trocar variáveis para simplificar).
Faça a mudança de variáveis:
u = x-1,\qquad v = y-1.
Queremos escrever f(1+u,1+v) em potências de u e v.
Calculemos termo a termo (mostrando as contas para você poder reproduzir na prova):
x^{2}=(1+u)^{2}=1+2u+u^{2},
y^{3}=(1+v)^{3}=1+3v+3v^{2}+v^{3},
-2x=-2(1+u)=-2-2u,
-3y^{2}=-3(1+2v+v^{2})=-3-6v-3v^{2},
3y=3(1+v)=3+3v.
Somando todos os termos:
constantes: 1+1-2-3+3=0.
termos em u: 2u-2u=0.
termos em v: 3v-6v+3v=0.
termos quadráticos e superiores: sobra u^{2} e v^{3} (os termos 3v^{2} e -3v^{2} se cancelam).
Portanto obtemos, exatamente,
f(1+u,1+v)=u^{2}+v^{3}.
Também podemos verificar f(1,1)=0, então essa expressão dá diretamente o desvio de f em torno de (1,1).

Passo 5

Analisar g(u,v)=u^{2}+v^{3} para classificar o ponto.
Observações didáticas:
  • u^{2} é sempre não negativo e pequeno para u pequeno.
  • v^{3} tem sinal igual ao de v: se v>0 então v^{3}>0; se v<0 então v^{3}<0.
  • Assim, ao fixar u=0 e variar v pequeno, g(0,v)=v^{3} assume valores positivos para v>0 e negativos para v<0. Ou seja, arbitrariamente próximo da origem há pontos onde g é positivo e pontos onde é negativo.
  • Consequentemente, f próximo de (1,1) toma valores maiores e menores que f(1,1)=0, o que caracteriza um ponto de sela.
Exemplo numérico (para intuir): tome u=0, v=0{,}01 então f\approx (0)^{2}+(0{,}01)^{3}=10^{-6}>0; tome u=0, v=-0{,}01 então f\approx -10^{-6}<0. Ambos os pontos estão arbitrariamente próximos de (1,1), logo não há extremum local.
Também é válido notar que a degenerescência do Hessiano ( D=0) foi esperada — ela exige ir além do teste quadrático e olhar ordens superiores, como fizemos.

Passo 6

Conclusão e classificação final.
Pela análise em torno de (1,1), a função assume sinais opostos arbitrariamente próximos desse ponto; portanto não é nem mínimo nem máximo local. A classificação correta é ponto de sela (saddle point). É um ponto de sela degenerado (pois o Hessiano tem determinante zero), mas geometricamente continua sendo uma sela.

Resposta

O único ponto crítico é (1,1) e é um ponto de sela.

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