Classifique os pontos críticos das funções em
a seguir:
1.
1.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para classificar os pontos críticos desta função.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função é explícita em
e . - Um “ponto crítico” é um ponto onde o gradiente de
é o vetor nulo (ou onde derivadas parciais não existem, o que não ocorre aqui). - A classificação típica pede dizer se cada ponto crítico é mínimo local, máximo local ou ponto de sela (ou, se o teste padrão falhar, dizer que é degenerado e investigar mais).
O que vamos procurar:
- Calcular as derivadas parciais
e . - Resolver o sistema
para achar os pontos críticos. - Usar a matriz Hessiana e o teste das segundas derivadas para tentar classificar; se esse teste for inconclusivo, analisar a função perto do ponto (expansão em torno do ponto) para decidir.
Passo 2
Calcular as derivadas parciais e encontrar os pontos críticos.
Derivadas parciais:
Explicando rápido:
é a derivada de
em relação a
tratando
como constante; similar para
.
Resolver
:
Logo há um único ponto crítico:
.
Passo 3
Montar a matriz Hessiana e aplicar o teste das segundas derivadas (teste de Hessian) em
.
Cálculo das segundas derivadas:
Avaliar em
:
Determinante do Hessiano em
:
Explicando a regra usada: para uma função
, se
e
então tem mínimo local; se
e
então tem máximo local; se
então ponto de sela. Se
o teste é inconclusivo — não diz se é mínimo, máximo ou sela. Aqui obtivemos
, então precisamos analisar mais fino o comportamento de
perto do ponto.
Passo 4
Investigar a natureza do ponto crítico usando expansão centrada em
(trocar variáveis para simplificar).
Faça a mudança de variáveis:
Queremos escrever
em potências de
e
.
Calculemos termo a termo (mostrando as contas para você poder reproduzir na prova):
Somando todos os termos:
constantes: .
termos em :
.
termos em :
.
termos quadráticos e superiores: sobra e
(os termos
e
se cancelam).
constantes:
termos em
termos em
termos quadráticos e superiores: sobra
Portanto obtemos, exatamente,
Também podemos verificar
, então essa expressão dá diretamente o desvio de
em torno de
.
Passo 5
Analisar
para classificar o ponto.
Observações didáticas:
-
é sempre não negativo e pequeno para pequeno. -
tem sinal igual ao de : se então ; se então . - Assim, ao fixar
e variar pequeno, assume valores positivos para e negativos para . Ou seja, arbitrariamente próximo da origem há pontos onde é positivo e pontos onde é negativo. - Consequentemente,
próximo de toma valores maiores e menores que , o que caracteriza um ponto de sela.
Exemplo numérico (para intuir): tome
,
então
; tome
,
então
. Ambos os pontos estão arbitrariamente próximos de
, logo não há extremum local.
Também é válido notar que a degenerescência do Hessiano (
) foi esperada — ela exige ir além do teste quadrático e olhar ordens superiores, como fizemos.
Passo 6
Conclusão e classificação final.
Pela análise em torno de
, a função assume sinais opostos arbitrariamente próximos desse ponto; portanto não é nem mínimo nem máximo local. A classificação correta é ponto de sela (saddle point). É um ponto de sela degenerado (pois o Hessiano tem determinante zero), mas geometricamente continua sendo uma sela.
Resposta
O único ponto crítico é
e é um ponto de sela.