Temos um paralelepípedo retangular com base quadrada. A aresta maior do paralelepípedo tem o dobro da medida de sua aresta menor. A aresta menor foi medida como sendo 2 cm, com um possível erro de medida de
cm. Usando diferenciais, estime o erro máximo ao se calcular a área da superfície do paralelepípedo (em cm²) a partir da medida de sua aresta menor.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um paralelepípedo retangular com base quadrada. A aresta maior (altura) é o dobro da aresta menor, que mede 2 cm, mas pode ter um erro de medição de
cm. A gente vai usar diferenciais para estimar qual pode ser o erro máximo ao calcular a área da superfície desse paralelepípedo. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre cálculo de diferenciais e como eles nos ajudam a estimar erros em medidas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as dimensões do paralelepípedo. A base é um quadrado, então as duas arestas da base são iguais. Vamos chamar a aresta menor de
. Sabemos que a aresta maior, que é a altura, é o dobro da menor, ou seja,
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a área da superfície do paralelepípedo. A área da superfície (
) de um paralelepípedo é dada por:
Como a base é um quadrado com lado
, a área da base é
. As laterais são 4 retângulos com lados
e
, então a área total das laterais é
.
Passo 4
Substituindo
na expressão, temos:
Então, a área da superfície do paralelepípedo é
.
Passo 5
Agora, vamos usar diferenciais para estimar o erro na medida da área da superfície. O diferencial da área (
) em relação a
é a derivada de
em relação a
multiplicada pelo diferencial de
(
).
Primeiro, calculamos a derivada de
:
Então, o diferencial
é:
Passo 6
Sabemos que
cm e o erro máximo na medida de
é
cm. Substituindo esses valores na expressão do diferencial, temos:
Simplificando a fração:
Resposta
O erro máximo ao calcular a área da superfície do paralelepípedo é de
cm².