Temos um paralelepípedo retangular com base quadrada. A aresta maior do paralelepípedo tem o dobro da medida de sua aresta menor. A aresta menor foi medida como sendo 2 cm, com um possível erro de medida de 1130 cm. Usando diferenciais, estime o erro máximo ao se calcular a área da superfície do paralelepípedo (em cm²) a partir da medida de sua aresta menor.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um paralelepípedo retangular com base quadrada. A aresta maior (altura) é o dobro da aresta menor, que mede 2 cm, mas pode ter um erro de medição de 1130 cm. A gente vai usar diferenciais para estimar qual pode ser o erro máximo ao calcular a área da superfície desse paralelepípedo. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre cálculo de diferenciais e como eles nos ajudam a estimar erros em medidas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as dimensões do paralelepípedo. A base é um quadrado, então as duas arestas da base são iguais. Vamos chamar a aresta menor de x. Sabemos que a aresta maior, que é a altura, é o dobro da menor, ou seja, h = 2x.

Passo 3

Agora, vamos calcular a área da superfície do paralelepípedo. A área da superfície ( A) de um paralelepípedo é dada por:
A = 2 times ( área da base ) + área das laterais áá
Como a base é um quadrado com lado x, a área da base é x^2. As laterais são 4 retângulos com lados x e h, então a área total das laterais é 4 times x times h.

Passo 4

Substituindo h = 2x na expressão, temos:
A = 2x^2 + 4x times 2x = 2x^2 + 8x^2 = 10x^2
Então, a área da superfície do paralelepípedo é A = 10x^2.

Passo 5

Agora, vamos usar diferenciais para estimar o erro na medida da área da superfície. O diferencial da área ( dA) em relação a x é a derivada de A em relação a x multiplicada pelo diferencial de x ( dx).
Primeiro, calculamos a derivada de A:
dAdx = ddx(10x^2) = 20x
Então, o diferencial dA é:
dA = 20x , dx

Passo 6

Sabemos que x = 2 cm e o erro máximo na medida de x é dx = 1130 cm. Substituindo esses valores na expressão do diferencial, temos:
dA = 20 times 2 times 1130 = 40130
Simplificando a fração:
40130 = 413

Resposta

O erro máximo ao calcular a área da superfície do paralelepípedo é de 413 cm².

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