Exercício 9 Plote o gráfico das seguintes funções:
f(x, y)=raiz8-x^2+2 x-8 y^2

Passo 1

O enunciado pede para “plotar” o gráfico da função
f(x,y)=raiz8 - x^2 + 2x - 8y^2
Estamos lidando com superfícies em R^3 definidas por z=f(x,y), onde a função sob a raiz determina a região do plano (x,y) em que f é real. Vamos identificar primeiro a região de domínio e depois a forma geométrica da superfície.

Passo 2

Encontrar o domínio de (x,y) tal que o radicando seja não negativo:
8 - x^2 + 2x - 8y^2 >= 0
Complete o quadrado em x:
-,x^2 + 2x = -l(x^2 -2xr) = -l((x-1)^2 -1r) = - (x-1)^2 +1
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8 - x^2 + 2x - 8y^2 = 8 +1 - (x-1)^2 - 8y^2 = 9 - (x-1)^2 - 8y^2
O domínio é
9 - (x-1)^2 - 8y^2 >= 0 Long<=ftrightarrow (x-1)^29 + y^29/8 <= 1,
que é uma elipse centrada em (1,0) no plano xy.

Passo 3

Reescrevendo a função, temos
f(x,y) = raiz9 - (x-1)^2 - 8y^2
Se definirmos z = f(x,y), então
z^2 + (x-1)^2 + 8y^2 = 9, z >= 0
Esse é o semiespaço superior ( z>=0) de uma elipsoide cujos semi-eixos são:
a = 3 (direção x), b = raiztfrac98 = tfrac32raiz2 (direção y), c = 3 (direção z) çãçãçã

Passo 4

Portanto, o gráfico de f é a “cúpula” superior dessa elipsoide deslocada de modo que seu centro fique em (1,0,0) no plano xy. Em software 3D, basta plotar a elipse no plano xy
(x-1)^29 + y^29/8 <= 1
e para cada ponto (x,y) da elipse desenhar z=raiz9 - (x-1)^2 - 8y^2.

Resposta

O gráfico de f é a parte superior da elipsoide
(x-1)^23^2 + y^2(3/raiz8)^2 + z^23^2 = 1, z >= 0,
isto é, uma cúpula elipsoidal centrada em (1,0) no plano xy.
Uma forma prática de visualizar é traçar a região elíptica
(x-1)^29 + 8y^29 <= 1
e para cada (x,y) dessa região elevar z até
z = raiz9 - (x-1)^2 - 8y^2

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