Para cada uma das seguintes afirmações diga se ela é verdadeira (V), falsa (F) ou que você não sabe (Não sei).
Atenção: cada resposta correta vale
, cada resposta errada desconta
e as respostas não sei valem
.
Sejam
uma função real contínua e
um intervalo fechado. Então a função
restrita a esse intervalo possui um mínimo global e, se o mínimo global não acontece num ponto onde a derivada é zero, então ele ocorre num dos extremos do intervalo.
Atenção: cada resposta correta vale
Sejam
Passo 1
O enunciado fala de uma função contínua
restrita a um intervalo fechado
, e afirma duas coisas: (1) que existe mínimo global em
e (2) que, se esse mínimo global não ocorre num ponto onde
, então ele ocorre num dos extremos de
. Vamos precisar do Teorema do Valor Extremo e do Teorema de Fermat.
Passo 2
Pela continuidade de
e pelo Teorema do Valor Extremo, sabemos que uma função contínua num intervalo fechado atinge seu mínimo (e máximo) global. Logo a primeira parte da afirmação é garantida.
Passo 3
Se admitirmos que
é diferenciável no interior de
, o Teorema de Fermat diz que, se
tem um extremo local em um ponto interior, então
. Portanto, se o mínimo global não acontece em nenhum ponto onde
, ele não pode estar num ponto interior, restando apenas os extremos.
Passo 4
Juntando os dois teoremas vemos que a afirmação dada é verdadeira: há mínimo global, e se esse mínimo não for numa raiz de
, então aparece num dos extremos do intervalo fechado.
Resposta
V