Para cada uma das seguintes afirmações diga se ela é verdadeira (V), falsa (F) ou que você não sabe (Não sei).
Atenção: cada resposta correta vale 0,2, cada resposta errada desconta -0,1 e as respostas não sei valem 0.
Sejam f: R R uma função real contínua e I subseteq R um intervalo fechado. Então a função f restrita a esse intervalo possui um mínimo global e, se o mínimo global não acontece num ponto onde a derivada é zero, então ele ocorre num dos extremos do intervalo.

Passo 1

O enunciado fala de uma função contínua f:RtoR restrita a um intervalo fechado I, e afirma duas coisas: (1) que existe mínimo global em I e (2) que, se esse mínimo global não ocorre num ponto onde f' = 0, então ele ocorre num dos extremos de I. Vamos precisar do Teorema do Valor Extremo e do Teorema de Fermat.

Passo 2

Pela continuidade de f e pelo Teorema do Valor Extremo, sabemos que uma função contínua num intervalo fechado atinge seu mínimo (e máximo) global. Logo a primeira parte da afirmação é garantida.

Passo 3

Se admitirmos que f é diferenciável no interior de I, o Teorema de Fermat diz que, se f tem um extremo local em um ponto interior, então f'(c)=0. Portanto, se o mínimo global não acontece em nenhum ponto onde f'=0, ele não pode estar num ponto interior, restando apenas os extremos.

Passo 4

Juntando os dois teoremas vemos que a afirmação dada é verdadeira: há mínimo global, e se esse mínimo não for numa raiz de f', então aparece num dos extremos do intervalo fechado.

Resposta

V

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