Para cada uma das seguintes afirmações diga se ela é verdadeira (V), falsa (F) ou que você não sabe (Não sei).
Atenção: cada resposta correta vale 0,2, cada resposta errada desconta -0,1 e as respostas não sei valem 0.
A função real h definida por h(x)=x+sen(x)-pi se x<pi e h(x)=(x-pi)^3-x+pi se x >= pi possui exatamente dois pontos críticos no intervalo (-6,6).

Passo 1

O enunciado define a função real por partes
h(x)= x+sin(x)-pi, & x<pi, (x-pi)^3-x+pi, & x>=pi,
e pede o número de pontos críticos em (-6,6). Pontos críticos são aqueles onde h' se anula ou não existe.

Passo 2

Para x<pi, temos
h'(x)=ddxl(x+sin(x)-pir)=1+cos(x)
Resolvendo h'(x)=0
1+cos(x)=0Longrightarrowcos(x)=-1Longrightarrow x=(2k+1)pi
Em (-6,6) e com x<pi, o único valor é x=-pi.

Passo 3

Para x>=pi, temos
h'(x)=ddxl((x-pi)^3-x+pir)=3(x-pi)^2-1
Resolvendo h'(x)=0
3(x-pi)^2-1=0Longrightarrow(x-pi)^2=tfrac13 Longrightarrow x=pipmtfrac1raiz3
Destes, somente x=pi+tfrac1raiz3 pertence a [,pi,6).

Passo 4

No ponto de junção x=pi, a derivada à esquerda vale
h'(pi^-)=1+cos(pi)=0
e à direita vale
h'(pi^+)=3(0)^2-1=-1,
logo h' não existe em x=pi. Esse também é ponto crítico.

Passo 5

Contabilizando, os pontos críticos em (-6,6) são
x=-pi, x=pi, x=pi+tfrac1raiz3,
totalizando três pontos críticos.

Resposta

F

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