Para cada uma das seguintes afirmações diga se ela é verdadeira (V), falsa (F) ou que você não sabe (Não sei).
Atenção: cada resposta correta vale 0,2, cada resposta errada desconta -0,1 e as respostas não sei valem 0.
A função f(x)=2 raiz[3]x^2+raiz[3]x possui um ponto crítico em x=0 pois f^prime(0)=0.

Passo 1

Resumindo: temos a função
f(x)=2raiz[3]x^2+raiz[3]x
e queremos saber se ela tem um ponto crítico em x=0 porque supostamente f'(0)=0. O conteúdo aqui é derivada em pontos onde a função pode não ser diferenciável e definição de ponto crítico (onde f'=0 ou f' não existe).

Passo 2

Vamos calcular
f'(0)=limhto0f(h)-f(0)h
Como raiz[3]0^2=0 e raiz[3]0=0, temos f(0)=0. Logo
f(h)-f(0)h =2|h|^2/3+h^1/3h
Para h>0:
2h^2/3+h^1/3h =2h^-1/3+h^-2/3to+infty
Para h<0 escrevemos h=-|h|, daí
2|h|^2/3-|h|^1/3-|h| =-2|h|^-1/3+|h|^-2/3to+infty
Em ambos os lados o quociente tende a +infty, logo f'(0) não existe (é infinito), e certamente não é zero.

Passo 3

Como f'(0) não existe, a justificativa “ f'(0)=0” é falsa. Embora x=0 seja de fato um ponto onde a derivada falha e possa ser considerado ponto crítico por definição ampla, a afirmação apresentada está errada ao dizer que f'(0)=0.

Resposta

F

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