Exercício 9 Plote o gráfico das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede o gráfico da função de duas variáveis
O que queremos é desenhar a superfície
Passo 2
Primeiro, analisamos domínio e alcance. Como
está sempre definido para todo
e é não–negativo, temos
Em particular, em
vale
que é o valor máximo da superfície, e conforme
quando
, temos
.
Passo 3
Analisamos secções por planos coordenados para ver o “perfil” da superfície:
— Se , então
— Se
que é um “V” com vértice em
.
— Se , então
— Se
um “V” mais íngreme também com vértice em
.
Passo 4
As curvas de nível
são dadas por
isto é
Para
temos elipses centradas na origem, com semieixo em
igual a
e semieixo em
igual a
.
Passo 5
Com as secções lineares e as curvas de nível elípticas, concluímos que a superfície é um “cone” elíptico invertido (vértice em
, aberto para baixo), cujas linhas geratrizes em direção a eixos formam ângulos constantes em cada direção.
Resposta
O gráfico de
é um cone elíptico invertido com vértice em
, cujas seções planas
e
são as retas
e
, e cujas curvas de nível são elipses
para cada
.
Visualmente, ele tem o ponto mais alto em
e desce de forma linear em todas as direções, com “contorno” elíptico.