Exercício 9 Plote o gráfico das seguintes funções:
f(x, y)=1-raizx^2+2 y^2

Passo 1

O enunciado pede o gráfico da função de duas variáveis
f(x,y)=1-raizx^2+2y^2
O que queremos é desenhar a superfície
z = 1 - raizx^2+2y^2

Passo 2

Primeiro, analisamos domínio e alcance. Como raizx^2+2y^2 está sempre definido para todo (x,y)inR^2 e é não–negativo, temos
raizx^2+2y^2>=0 Longrightarrow z<=1
Em particular, em (0,0) vale
f(0,0)=1-raiz0+0=1,
que é o valor máximo da superfície, e conforme raizx^2+2y^2to+infty quando |(x,y)|toinfty, temos zto-infty.

Passo 3

Analisamos secções por planos coordenados para ver o “perfil” da superfície:
— Se y=0, então
z = 1 - raizx^2 = 1 - |x|,
que é um “V” com vértice em (0,0,1).
— Se x=0, então
z = 1 - raiz2,y^2 = 1 - raiz2,|y|,
um “V” mais íngreme também com vértice em (0,0,1).

Passo 4

As curvas de nível f(x,y)=c são dadas por
1 - raizx^2+2y^2 = c Long<=ftrightarrow raizx^2+2y^2 = 1 - c,
isto é
x^2+2y^2 = (1-c)^2
Para c<1 temos elipses centradas na origem, com semieixo em x igual a |1-c| e semieixo em y igual a |1-c|/raiz2.

Passo 5

Com as secções lineares e as curvas de nível elípticas, concluímos que a superfície é um “cone” elíptico invertido (vértice em (0,0,1), aberto para baixo), cujas linhas geratrizes em direção a eixos formam ângulos constantes em cada direção.

Resposta

O gráfico de z=1-raizx^2+2y^2 é um cone elíptico invertido com vértice em (0,0,1), cujas seções planas y=0 e x=0 são as retas z=1-|x| e z=1-raiz2,|y|, e cujas curvas de nível são elipses
x^2+2y^2=(1-c)^2 para cada z=c<1.
Visualmente, ele tem o ponto mais alto em (0,0,1) e desce de forma linear em todas as direções, com “contorno” elíptico.

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