O valor mínimo da função f(x)=(x+3) cdot (x-4)^2 cdot (x-1)^2 no intervalo [-2,5] é:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função $ f(x) = (x+3) \cdot (x-4)^{2} \cdot (x-1)^{2} $ e queremos achar o valor mínimo dessa função no intervalo de $ x $ que vai de f(x) = (x+3) cdot (x-4)^2 cdot (x-1)^2 até x . Para isso, vamos precisar usar cálculo, especialmente o conceito de derivadas, que nos ajuda a encontrar os pontos onde a função pode ter máximos ou mínimos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função $ f(x) $. A derivada nos mostra a taxa de variação da função, ou seja, como a função está crescendo ou diminuindo em cada ponto. Para achar $ f’(x) $, vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia porque temos multiplos fatores na função.

Passo 3

Aplicando a regra do produto na função $ f(x) = (x+3)(x-4){2}(x-1){2} $, a derivada fica:
f(x) = (x+3)(x-4)^2(x-1)^2
Isso simplifica para:
f'(x) = (x-4)^2(x-1)^2 cdot 1 + (x+3) cdot 2(x-4)(x-1)^2 + (x+3) cdot (x-4)^2 cdot 2(x-1)

Passo 4

Agora, vamos igualar $ f’(x) $ a zero para encontrar os pontos críticos:
f'(x)
Isso nos dá três possibilidades:
  1. $ x - 4 = 0 $ → $ x = 4 $
  2. $ x - 1 = 0 $ → $ x = 1 $
  3. Resolver a expressão dentro dos colchetes igual a zero.

Passo 5

Resolvendo a terceira possibilidade:
(x-4)(x-1) + 2(x+3)(x-1) + 2(x+3)(x-4) = 0
Expandindo e simplificando:
(x^2 -5x +4) + 2(x^2 +2x -3) + 2(x^2 -x -12) = 0
x^2 -5x +4 + 2x^2 +4x -6 + 2x^2 -2x -24 = 0
5x^2 - 3x -26 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara para resolver $ 5x^2 - 3x -26 = 0 $:
5x^2 - 3x -26 = 0
x = 3 pm raiz(-3)^2 - 4 cdot 5 cdot (-26)2 cdot 5
x = 3 pm raiz9 + 52010
x = 3 pm raiz52910
Isso dá dois valores:
x = 3 pm 2310

Passo 6

Agora, temos os pontos críticos: $ x = 4 $, $ x = 1 $, $ x = 2.6 $ e $ x = -2 $. Como estamos considerando o intervalo x = 4 , todos esses pontos estão dentro do intervalo.
Também precisamos verificar as extremidades do intervalo, ou seja, $ x = -2 $ e $ x =5 $.

Passo 7

Vamos calcular o valor da função $ f(x) $ em cada um desses pontos:
  1. Para $ x = -2 $:
f(x)
  1. Para $ x =1 $:
x = -2
  1. Para $ x =2.6 $:
f(-2) = (-2+3)(-2-4)^2(-2-1)^2 = (1)(36)(9) = 324
x =1
f(1) = (1+3)(1-4)^2(1-1)^2 = (4)(9)(0) = 0
  1. Para $ x =4 $:
x =2.6
  1. Para $ x =5 $:
f(2.6) = (2.6+3)(2.6-4)^2(2.6-1)^2

Passo 8

Agora, vamos comparar os valores obtidos:
  • $ f(-2) = 324 $
  • $ f(1) = 0 $
  • $ f(2.6) \approx 55.1 $
  • $ f(4) = 0 $
  • $ f(5) = 128 $
O menor valor entre eles é f(-2) = 324 , que ocorre em $ x =1 $ e $ x =4 $.

Resposta

O valor mínimo da função no intervalo [-2,5] é 0.

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