O valor mínimo da função
no intervalo
é:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função $ f(x) = (x+3) \cdot (x-4)^{2} \cdot (x-1)^{2} $ e queremos achar o valor mínimo dessa função no intervalo de $ x $ que vai de
até
. Para isso, vamos precisar usar cálculo, especialmente o conceito de derivadas, que nos ajuda a encontrar os pontos onde a função pode ter máximos ou mínimos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função $ f(x) $. A derivada nos mostra a taxa de variação da função, ou seja, como a função está crescendo ou diminuindo em cada ponto. Para achar $ f’(x) $, vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia porque temos multiplos fatores na função.
Passo 3
Aplicando a regra do produto na função $ f(x) = (x+3)(x-4){2}(x-1){2} $, a derivada fica:
Isso simplifica para:
Passo 4
Agora, vamos igualar $ f’(x) $ a zero para encontrar os pontos críticos:
Isso nos dá três possibilidades:
- $ x - 4 = 0 $ → $ x = 4 $
- $ x - 1 = 0 $ → $ x = 1 $
- Resolver a expressão dentro dos colchetes igual a zero.
Passo 5
Resolvendo a terceira possibilidade:
Expandindo e simplificando:
Usando a fórmula de Bhaskara para resolver $ 5x^2 - 3x -26 = 0 $:
Isso dá dois valores:
Passo 6
Agora, temos os pontos críticos: $ x = 4 $, $ x = 1 $, $ x = 2.6 $ e $ x = -2 $. Como estamos considerando o intervalo
, todos esses pontos estão dentro do intervalo.
Também precisamos verificar as extremidades do intervalo, ou seja, $ x = -2 $ e $ x =5 $.
Passo 7
Vamos calcular o valor da função $ f(x) $ em cada um desses pontos:
- Para $ x = -2 $:
- Para $ x =1 $:
- Para $ x =2.6 $:
- Para $ x =4 $:
- Para $ x =5 $:
Passo 8
Agora, vamos comparar os valores obtidos:
- $ f(-2) = 324 $
- $ f(1) = 0 $
- $ f(2.6) \approx 55.1 $
- $ f(4) = 0 $
- $ f(5) = 128 $
O menor valor entre eles é
, que ocorre em $ x =1 $ e $ x =4 $.
Resposta
O valor mínimo da função no intervalo
é
.