Por cada um dos seguintes campos vetoriais vecF, determine se vecF é conservativo. Se sim, calcule um potencial para vecF.
vecF(x, y, z)=(y e^-x, e^-x, 2 z)

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
vec F(x,y,z) = l(F1,F2,F3r) = l(y,e^-x,,e^-x,,2zr)
e pede para verificar se ele é conservativo. Como o domínio é R^3, que é simplesmente-conexo, basta usar o critério: um campo C^1 é conservativo se, e somente se,
nablatimes vec F = vec 0

Passo 2

Vamos calcular cada componente do rotacional nablatimes vec F:
(nablatimes vec F)1 = partial F3partial y - partial F2partial z = 0 - 0 = 0,
(nablatimes vec F)2 = partial F1partial z - partial F3partial x = 0 - 0 = 0,
(nablatimes vec F)3 = partial F2partial x - partial F1partial y = l(-e^-xr) - l(e^-xr) = -2,e^-x
Portanto
nablatimes vec F = l(0,,0,,-2,e^-xr)

Passo 3

Como nablatimes vec Fneq vec0 em R^3, concluímos que vec F não é conservativo. Logo não existe função potencial para vec F.

Resposta

vec F não é conservativo.

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