Por cada um dos seguintes campos vetoriais
, determine se
é conservativo. Se sim, calcule um potencial para
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente determinar se o campo vetorial
é conservativo. Se for, a gente também precisa encontrar uma função potencial para esse campo. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e o cálculo do rotacional.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um campo vetorial conservativo. Um campo vetorial
é conservativo se existe uma função escalar
tal que
é o gradiente de
, ou seja,
. Uma das propriedades importantes dos campos conservativos é que o rotacional (ou “curl”) do campo é zero em toda a sua região de definição.
Passo 3
Então, para verificar se
é conservativo, vamos calcular o rotacional de
e ver se ele resulta no vetor zero. O rotacional de
é dado por:
Passo 4
Vamos calcular cada uma das componentes do rotacional:
- Primeira componente:
Calculando as derivadas:
Portanto, a primeira componente é:
- Segunda componente:
Calculando as derivadas:
Portanto, a segunda componente é:
- Terceira componente:
Calculando as derivadas:
Portanto, a terceira componente é:
Passo 5
Agora, juntando todas as componentes do rotacional, temos:
Para o campo
ser conservativo, todas essas componentes devem ser iguais a zero para todo
. Vamos verificar:
-
Isso só acontece se ou , mas não é válido para todos os valores de e . -
Novamente, só é válido se ou . -
Isso depende dos valores de e e não é zero em geral.
Como nem todas as componentes são zero para todo
, concluímos que o rotacional de
não é zero em geral.
Resposta
Portanto, o campo vetorial
não é conservativo.