Por cada um dos seguintes campos vetoriais vecF, determine se vecF é conservativo. Se sim, calcule um potencial para vecF.
vecF(x, y, z)=(x y e^x+e^x y, x sen y+x y cos y, x y z e^z^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente determinar se o campo vetorial F(x, y, z) = (x y e^x + e^x y,, x sin y + x y cos y,, x y z e^z^2) é conservativo. Se for, a gente também precisa encontrar uma função potencial para esse campo. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e o cálculo do rotacional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um campo vetorial conservativo. Um campo vetorial F é conservativo se existe uma função escalar f(x, y, z) tal que F é o gradiente de f, ou seja, F = nabla f. Uma das propriedades importantes dos campos conservativos é que o rotacional (ou “curl”) do campo é zero em toda a sua região de definição.

Passo 3

Então, para verificar se F é conservativo, vamos calcular o rotacional de F e ver se ele resulta no vetor zero. O rotacional de F = (Fx, Fy, Fz) é dado por:
nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z,, partial Fxpartial z - partial Fzpartial x,, partial Fypartial x - partial Fxpartial y )

Passo 4

Vamos calcular cada uma das componentes do rotacional:
  1. Primeira componente:
partial Fzpartial y - partial Fypartial z = partialpartial y (x y z e^z^2) - partialpartial z (x sin y + x y cos y)
Calculando as derivadas:
partialpartial y (x y z e^z^2) = x z e^z^2
partialpartial z (x sin y + x y cos y) = 0
Portanto, a primeira componente é:
x z e^z^2 - 0 = x z e^z^2
  1. Segunda componente:
partial Fxpartial z - partial Fzpartial x = partialpartial z (x y e^x + e^x y) - partialpartial x (x y z e^z^2)
Calculando as derivadas:
partialpartial z (x y e^x + e^x y) = 0
partialpartial x (x y z e^z^2) = y z e^z^2
Portanto, a segunda componente é:
0 - y z e^z^2 = - y z e^z^2
  1. Terceira componente:
partial Fypartial x - partial Fxpartial y = partialpartial x (x sin y + x y cos y) - partialpartial y (x y e^x + e^x y)
Calculando as derivadas:
partialpartial x (x sin y + x y cos y) = sin y + y cos y
partialpartial y (x y e^x + e^x y) = x e^x + e^x = e^x (x + 1)
Portanto, a terceira componente é:
(sin y + y cos y) - e^x (x + 1)

Passo 5

Agora, juntando todas as componentes do rotacional, temos:
nabla times F = ( x z e^z^2,; - y z e^z^2,; sin y + y cos y - e^x (x + 1) )
Para o campo F ser conservativo, todas essas componentes devem ser iguais a zero para todo x, y, z. Vamos verificar:
  1. x z e^z^2 = 0 Rightarrow Isso só acontece se x = 0 ou z = 0, mas não é válido para todos os valores de x e z.
  2. - y z e^z^2 = 0 Rightarrow Novamente, só é válido se y = 0 ou z = 0.
  3. sin y + y cos y - e^x (x + 1) = 0 Rightarrow Isso depende dos valores de x e y e não é zero em geral.
Como nem todas as componentes são zero para todo x, y, z, concluímos que o rotacional de F não é zero em geral.

Resposta

Portanto, o campo vetorial F(x, y, z) não é conservativo.

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