Verificar se o campo dado F é irrotacional ou seja rot(F)=0.
F(x, y, z)=(x y cos (x^2)+z x e^x, sen(x^2)2+yy^2+1, x e^x-e^x)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o campo
vec F(x,y,z)=l(F1,F2,F3r)
com
F1=xycos(x^2)+z,x,e^x, F2=tfrac12sin(x^2)+yy^2+1, F3=x e^x - e^x
é irrotacional, ou seja, se
nablatimesvec F=vec0.
Vamos usar a definição do rotacional em coordenadas cartesianas:
nablatimesvec F =l(partialy F3-partialz F2,; partialz F1-partialx F3,; partialx F2-partialy F1r)

Passo 2

Calcular a componente x:
(nablatimesvec F)x =partial F3partial y-partial F2partial z
Como F3=x e^x - e^x não depende de y, tem-se partialyF3=0.
Como F2=tfrac12sin(x^2)+tfracyy^2+1 não depende de z, tem-se partialzF2=0.
Portanto
(nablatimesvec F)x=0-0=0

Passo 3

Calcular a componente y:
(nablatimesvec F)y =partial F1partial z-partial F3partial x
Para F1=xycos(x^2)+z,x,e^x temos partialzF1=x e^x.
Para F3=x e^x - e^x,
partial F3partial x =ddx(x e^x)-ddx(e^x) =(e^x+xe^x)-e^x= x e^x
Logo
(nablatimesvec F)y = x e^x - x e^x = 0

Passo 4

Calcular a componente z:
(nablatimesvec F)z =partial F2partial x-partial F1partial y
Para F2=tfrac12sin(x^2)+tfracyy^2+1,
partial F2partial x =12cdot2xcos(x^2)=xcos(x^2),
pois tfracyy^2+1 independe de x.
Para F1=xycos(x^2)+z,x,e^x,
partial F1partial y =xcos(x^2),
pois zxe^x independe de y.
Portanto
(nablatimesvec F)z = xcos(x^2) - xcos(x^2) = 0

Resposta

Como todas as componentes do rotacional são nulas, concluímos
nablatimesvec F = (0,0,0),
logo vec F é irrotacional.

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