Determine o jacobiano da transformação.
x=2 pi, y=3 v^2, z=4 w^3

Passo 1

O enunciado define a transformação (pi,v,w)mapsto(x,y,z) durch
x=2pi,
y=3v^2,
z=4w^3
O que se pede é o jacobiano dessa transformação, isto é,
partial(x,y,z)partial(pi,v,w)
que se obtém pelo determinante da matriz das derivadas parciais.

Passo 2

Escrevemos a matriz jacobiana J cujas linhas correspondem a (x,y,z) e colunas a (pi,v,w):
J= partial xpartial pi & partial xpartial v & partial xpartial w partial ypartial pi & partial ypartial v & partial ypartial w partial zpartial pi & partial zpartial v & partial zpartial w

Passo 3

Calculamos cada derivada parcial:
partial xpartial pi=2, partial xpartial v=0, partial xpartial w=0,
partial ypartial pi=0, partial ypartial v=6v, partial ypartial w=0,
partial zpartial pi=0, partial zpartial v=0, partial zpartial w=12w^2
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J= 2 & 0 & 0 0 & 6v & 0 0 & 0 & 12w^2

Passo 4

Como J é matriz diagonal, o determinante é o produto dos elementos da diagonal:
det J = 2cdot(6v)cdot(12w^2) = 144,v,w^2

Resposta

partial(x,y,z)partial(pi,v,w) = 144,v,w^2

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