Encontre F(s) ou f(t), como indicado.
9. L(1-e^t+3 e^-4 t) cos 5 t

Passo 1

O exercício pede para calcular a transformada de Laplace de (1 - e^t + 3e^-4t)cos5t. O conteúdo principal é a transformada de Laplace, em especial a linearidade e o teorema de deslocamento na variável s. Vamos precisar também da fórmula básica Lcos at = ss^2 + a^2 e do resultado geral Le^atf(t) = F(s - a).

Passo 2

Pela linearidade da transformada de Laplace, separamos:
L(1 - e^t + 3e^-4t)cos5t = Lcos5t - Le^tcos5t + 3,Le^-4tcos5t.

Passo 3

Sabemos da tabela básica que
Lcos5t = ss^2 + 25.

Passo 4

Usando o teorema de deslocamento Le^atf(t) = F(s - a) com f(t)=cos5t e F(s)=ss^2+25:
  • Para e^tcos5t, temos a=1, logo
    Le^tcos5t = F(s-1) = s-1(s-1)^2 + 25.
  • Para e^-4tcos5t, temos a=-4, logo
    Le^-4tcos5t = F(s+4) = s+4(s+4)^2 + 25.

Passo 5

Juntando tudo, obtemos
F(s) = ss^2 + 25 - s-1(s-1)^2 + 25 + 3,s+4(s+4)^2 + 25

Resposta

F(s) = ss^2 + 25 - s-1(s-1)^2 + 25 + 3,s+4(s+4)^2 + 25

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