Encontre F(s) ou f(t), como indicado.
10. Le^3 t(9-4 t+10 sen t2)

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace
Lle^3tl(9 - 4t + 10sin(tfrac t2)r)r
O conteúdo principal é a propriedade de deslocamento no domínio s (ou “shifting”), além da linearidade da transformada de Laplace.

Passo 2

Pela propriedade de deslocamento, se
Lg(t) = G(s),
então
Le^atg(t) = G(s - a)
Aqui temos a = 3 e g(t) = 9 - 4t + 10sin(tfrac t2). Vamos primeiro calcular
G(s) = L9 - 4t + 10sin(tfrac t2)

Passo 3

Usando a linearidade da transformada:
G(s) = 9,L1 ;-; 4,Lt ;+; 10,Lsin(tfrac t2)
Sabemos que
L1 = 1s, Lt = 1s^2, Lsin(omega t) = omegas^2 + omega^2
Aqui omega = tfrac12, logo
Lsin(tfrac t2) = tfrac12s^2 + (tfrac12)^2 = 1/2s^2 + 1/4

Passo 4

Substituindo esses resultados em G(s):
G(s) = 9cdot1s ;-; 4cdot1s^2 ;+; 10cdot1/2s^2 + 1/4 = 9s ;-; 4s^2 ;+; 5s^2 + 1/4

Passo 5

Agora aplicamos o deslocamento s mapsto s - 3. Assim
Le^3t(9 - 4t + 10sin(tfrac t2)) = G(s - 3) = 9s - 3 - 4(s - 3)^2 + 5(s - 3)^2 + tfrac14

Resposta

F(s) = 9s - 3 - 4(s - 3)^2 + 5(s - 3)^2 + tfrac14

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