Por cada um dos seguintes campos vetoriais
, determine se
é conservativo. Se sim, calcule um potencial para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se o campo vetorial
é conservativo. Se for, a gente também precisa achar uma função potencial
tal que
. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre campos conservativos e como calcular o rotacional de um campo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um campo conservativo. Um campo vetorial é dito conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de alguma função escalar
, ou seja,
. Uma propriedade importante dos campos conservativos é que o rotacional deles é zero. Então, nosso primeiro passo é calcular o rotacional de
.
Passo 3
O rotacional de um campo vetorial
é dado por:
Vamos calcular cada componente do rotacional de
.
Passo 4
Calculando cada derivada:
Passo 5
Agora, substituindo na fórmula do rotacional:
O rotacional de
é zero, o que indica que
é um campo conservativo.
Passo 6
Agora que sabemos que
é conservativo, vamos encontrar a função potencial
tal que
. Isso significa que:
Vamos integrar a primeira equação em relação a
:
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos à segunda equação:
Portanto,
. Integrando em relação a
:
Finalmente, derivamos
em relação a
e igualamos à terceira equação:
Assim,
é constante, que podemos considerar como zero.
Resposta
A função potencial é
.