Por cada um dos seguintes campos vetoriais vecF, determine se vecF é conservativo. Se sim, calcule um potencial para vecF.
vecF(x, y, z)=(2 x y cos (x^2)+z e^x, sen(x^2)+2 yy^2+1, e^x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se o campo vetorial F(x, y, z) = (2xy cos (x^2)+z e^x, sin(x^2)+2 yy^2+1, e^x) é conservativo. Se for, a gente também precisa achar uma função potencial phi tal que F = nabla phi. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre campos conservativos e como calcular o rotacional de um campo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um campo conservativo. Um campo vetorial é dito conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de alguma função escalar phi, ou seja, F = nabla phi. Uma propriedade importante dos campos conservativos é que o rotacional deles é zero. Então, nosso primeiro passo é calcular o rotacional de F.

Passo 3

O rotacional de um campo vetorial F = (Fx, Fy, Fz) é dado por:
nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z, partial Fxpartial z - partial Fzpartial x, partial Fypartial x - partial Fxpartial y )
Vamos calcular cada componente do rotacional de F.

Passo 4

Calculando cada derivada:
  1. partial Fzpartial y = partial e^xpartial y = 0
  2. partial Fypartial z = partialpartial z(sin(x^2) + 2yy^2+1) = 0
  3. partial Fxpartial z = partialpartial z(2xy cos(x^2) + z e^x) = e^x
  4. partial Fzpartial x = partial e^xpartial x = e^x
  5. partial Fypartial x = partialpartial x(sin(x^2) + 2yy^2+1) = 2x cos(x^2)
  6. partial Fxpartial y = partialpartial y(2xy cos(x^2) + z e^x) = 2x cos(x^2)

Passo 5

Agora, substituindo na fórmula do rotacional:
nabla times F = (0 - 0, e^x - e^x, 2x cos(x^2) - 2x cos(x^2)) = (0, 0, 0)
O rotacional de F é zero, o que indica que F é um campo conservativo.

Passo 6

Agora que sabemos que F é conservativo, vamos encontrar a função potencial phi tal que F = nabla phi. Isso significa que:
partial phipartial x = 2xy cos(x^2) + z e^x
partial phipartial y = sin(x^2) + 2 yy^2+1
partial phipartial z = e^x
Vamos integrar a primeira equação em relação a x:
phi(x, y, z) = integral (2xy cos(x^2) + z e^x) dx = y sin(x^2) + z e^x + g(y, z)
Agora, derivamos phi em relação a y e igualamos à segunda equação:
partial phipartial y = sin(x^2) + partial gpartial y = sin(x^2) + 2 yy^2+1
Portanto, partial gpartial y = 2 yy^2+1. Integrando em relação a y:
g(y, z) = ln(y^2+1) + h(z)
Finalmente, derivamos phi em relação a z e igualamos à terceira equação:
partial phipartial z = e^x + partial hpartial z = e^x
Assim, partial hpartial z = 0 Rightarrow h(z) é constante, que podemos considerar como zero.

Resposta

A função potencial é phi(x, y, z) = y sin(x^2) + z e^x + ln(y^2+1).

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