Por cada um dos seguintes campos vetoriais
, determine se
é conservativo. Se sim, calcule um potencial para
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se
é conservativo e, se for, encontrar uma função potencial
. Para isso vamos usar o teste do rotor (curl) e depois, em região onde o rotor for zero, integrar as componentes de
para montar
.
Passo 2
Calcular o rotor de
.
-
. -
.
Logo. -
.
Logo. -
.
Portanto o rotor deé zero em todo ponto onde está definido.
Passo 3
Como
e o domínio de
(onde
) é formado por regiões simplesmente conectas, concluímos que
é conservativo em cada componente conexa do seu domínio.
Passo 4
Procurar
tal que
Integramos em
:
onde
é constante de integração em relação a
.
Passo 5
Impor
:
Isso dá
.
Note que o denominador tem derivada
, logo
Note que o denominador
Passo 6
Impor
:
e portanto
é constante que podemos tomar zero.
Resposta
O campo
é conservativo em cada região onde
e uma função potencial é