Por cada um dos seguintes campos vetoriais vecF, determine se vecF é conservativo. Se sim, calcule um potencial para vecF.
vecF(x, y, z)=(2 x y cos (x^2)+3 z e^3 x, sen(x^2)+y^2+yy^3+32 y^2+1, e^3 x)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
F(x,y,z)=l(2xycos(x^2)+3z e^3x,;sin(x^2)+tfracy^2+yy^3+tfrac32y^2+1,;e^3xr)
é conservativo e, se for, encontrar uma função potencial phi(x,y,z). Para isso vamos usar o teste do rotor (curl) e depois, em região onde o rotor for zero, integrar as componentes de F para montar phi.

Passo 2

Calcular o rotor de F=(P,Q,R).
  1. partial Ppartial y =partialpartial yl(2xycos(x^2)+3z e^3xr) =2xcos(x^2).
  2. partial Qpartial x =partialpartial xl(sin(x^2)+tfracy^2+yy^3+tfrac32y^2+1r) =2xcos(x^2).
    Logo partial P/partial y=partial Q/partial x.
  3. partial Ppartial z =3e^3x, partial Rpartial x =partialpartial x(e^3x)=3e^3x.
    Logo partial P/partial z=partial R/partial x.
  4. partial Qpartial z=0, partial Rpartial y=0.
    Portanto o rotor de F é zero em todo ponto onde F está definido.

Passo 3

Como curlF=0 e o domínio de F (onde y^3+tfrac32y^2+1neq0) é formado por regiões simplesmente conectas, concluímos que F é conservativo em cada componente conexa do seu domínio.

Passo 4

Procurar phi tal que
partial phipartial x =P=2xycos(x^2)+3z e^3x
Integramos em x:
phi(x,y,z) =integral 2xycos(x^2),dx+integral 3z e^3x,dx = ysin(x^2)+z e^3x+g(y,z),
onde g(y,z) é constante de integração em relação a x.

Passo 5

Impor partial phi/partial y=Q:
partial phipartial y =sin(x^2)+partial gpartial y stackrel!= sin(x^2)+y^2+yy^3+tfrac32y^2+1
Isso dá
gy(y,z)=y^2+yy^3+tfrac32y^2+1.
Note que o denominador D(y)=y^3+tfrac32y^2+1 tem derivada D'(y)=3(y^2+y), logo
gy=13D'(y)D(y) Longrightarrow g(y,z)=13lnl(y^3+tfrac32y^2+1r)+h(z)

Passo 6

Impor partial phi/partial z=R:
partial phipartial z =e^3x+h'(z) stackrel!= e^3x Longrightarrow h'(z)=0
e portanto h(z) é constante que podemos tomar zero.

Resposta

O campo F é conservativo em cada região onde y^3+tfrac32y^2+1neq0 e uma função potencial é
phi(x,y,z) = ysin(x^2)+z e^3x +13lnl(y^3+tfrac32y^2+1r)

Exercícios relacionados