Por cada um dos seguintes campos vetoriais vecF, determine se vecF é conservativo. Se sim, calcule um potencial para vecF.
vecF(x, y, z)=(10 x z+y sen x y, x sen x y, 5 x^2)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o campo vetorial
F(x,y,z) = l(P,Q,Rr) = l(10,x,z;+;ysen(xy),;xsen(xy),;5x^2r)
é conservativo em R^3 e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial phi(x,y,z) tal que nablaphi=F. Para isso vamos usar o critério de campo conservativo em domínios simplesmente conexos (checar se nablatimesF=0) e depois construir phi integrando componentes de F.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais necessárias para o rotacional nablatimesF:
partial Ppartial y = partialpartial yl(10xz + ysen(xy)r) = sen(xy) + ycdot xcos(xy).
partial Qpartial x = partialpartial xl(xsen(xy)r) = sen(xy) + xcdot ycos(xy).
Logo partial P/partial y=partial Q/partial x.
Em seguida,
partial Ppartial z = partialpartial z(10xz)=10x,
partial Rpartial x = partialpartial x(5x^2)=10x.
E por fim
partial Q/partial z=0 e partial R/partial y=0.
Como todas as componentes do rotacional são zero, nablatimesF=0 em R^3, o que implica que F é conservativo.

Passo 3

Para achar a potencial phi, integramos partialphi/partial x = P em relação a x:
phi(x,y,z) = integrall(10xz + ysen(xy)r),dx = integral 10xz,dx ;+;integral ysen(xy),dx = 5x^2z ;-;cos(xy) ;+;g(y,z),
onde g(y,z) é uma função “constante” em relação a x.

Passo 4

Impondo partialphi/partial y = Q, temos
partialphipartial y = 0 ;+;xsen(xy) ;+;partial gpartial y stackrel!= xsen(xy),
logo partial g/partial y=0 e g(y,z)=h(z).
Depois impomos partialphi/partial z = R:
partialphipartial z = 5x^2 + h'(z) stackrel!=5x^2,
o que dá h'(z)=0 e h(z)=C (constante arbitrária).

Resposta

phi(x,y,z) = 5x^2z ;-;cosl(xyr) + C,
portanto F é conservativo e phi é uma função potencial válida.

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