Por cada um dos seguintes campos vetoriais
, determine se
é conservativo. Se sim, calcule um potencial para
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o campo vetorial
é conservativo em
e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial
tal que
. Para isso vamos usar o critério de campo conservativo em domínios simplesmente conexos (checar se
) e depois construir
integrando componentes de
.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais necessárias para o rotacional
:
.
.
Logo .
Em seguida,
,
.
E por fim
e
.
Como todas as componentes do rotacional são zero, em
, o que implica que
é conservativo.
Logo
Em seguida,
E por fim
Como todas as componentes do rotacional são zero,
Passo 3
Para achar a potencial
, integramos
em relação a
:
onde
é uma função “constante” em relação a
.
Passo 4
Impondo
, temos
logo
e
.
Depois impomos :
Depois impomos
o que dá
e
(constante arbitrária).
Resposta
portanto
é conservativo e
é uma função potencial válida.