Suponha que rho(x, y, z) representa a densidade linear num ponto (x, y, z) de um arame fino com o formato de uma curva espacial C. Os momentos de inércia em relação aos eixos x, y e z são definidos por
Ix=integralC(y^2+z^2) rho(x, y, z) d s Iy=integralC(x^2+z^2) rho(x, y, z) d s Iz=integralC(x^2+y^2) rho(x, y, z) d s
Determine os momentos de inércia de um arame com o formato de uma hélice
x=2 sen t, y=2 cos t, z=3 t, 0 <= t <= 2 pi, se a densidade for uma constante k

Passo 1

O problema pede para calcular os momentos de inércia de um arame fino, de densidade linear constante k, disposto ao longo de uma hélice
x = 2sin t, y = 2cos t, z = 3t, 0 <= t <= 2pi
O conteúdo principal é integrar ao longo da curva C as quantidades
Ix = integralC (y^2+z^2),rho,ds, Iy = integralC (x^2+z^2),rho,ds, Iz = integralC (x^2+y^2),rho,ds
sabendo que rho(x,y,z)=k e usando o elemento de comprimento ds.

Passo 2

Parametrizamos a curva por t e calculamos
dxdt=2cos t, dydt=-2sin t, dzdt=3,
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ds = raizl(2cos tr)^2 + l(-2sin tr)^2 + 3^2,dt = raiz4cos^2 t+4sin^2 t+9,dt = raiz13,dt

Passo 3

Para Ix temos y^2=4cos^2 t e z^2=9t^2, então
Ix = integral0^2pi l(4cos^2 t + 9t^2r),k,ds = kraiz13integral0^2pi l(4cos^2 t + 9t^2r),dt
Separando em duas integrais,
integral0^2pi4cos^2 t,dt = 4cdotpi, integral0^2pi9t^2,dt = 9cdot(2pi)^33 = 24pi^3
Portanto
Ix = kraiz13,l(4pi + 24pi^3r) = 4kraiz13,pil(1 + 6pi^2r)

Passo 4

Para Iy fazemos x^2=4sin^2 t e de novo z^2=9t^2, assim
Iy = kraiz13integral0^2pil(4sin^2 t + 9t^2r),dt = kraiz13,l(4pi + 24pi^3r) = 4kraiz13,pil(1 + 6pi^2r)

Passo 5

Para Iz notamos que x^2+y^2 = 4sin^2 t + 4cos^2 t = 4. Logo
Iz = integral0^2pi 4,k,ds = 4kraiz13integral0^2pi dt = 8pi kraiz13

Resposta

Ix = Iy = 4kraiz13,pil(1 + 6pi^2r), Iz = 8pi kraiz13

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