Por cada um dos seguintes campos vetoriais vecF, determine se vecF é conservativo. Se sim, calcule um potencial para vecF.
vecF(x, y, z)=(e^x sen y+e^z cos x, e^x cos y+e^y sen z, e^y cos z+e^z sen x)

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
F(x,y,z) = l(P,Q,Rr)
com
P = e^xsin y + e^zcos x, Q = e^xcos y + e^ysin z, R = e^ycos z + e^zsin x
Queremos verificar se F é conservativo (isto é, se existe potencial varphi tal que nablavarphi=vec F) e, em caso afirmativo, encontrar varphi. Num domínio simplesmente conectado como R^3, isso equivale a checar se nablatimesvec F=vec0 e depois integrar.

Passo 2

Calculemos o primeiro par de mistas:
partial Ppartial y = e^xcos y, partial Qpartial x = e^xcos y
Como partial P/partial y = partial Q/partial x, essa condição está satisfeita.

Passo 3

Agora o segundo par:
partial Ppartial z = e^zcos x, partial Rpartial x = e^zcos x
Também coincide, logo partial P/partial z = partial R/partial x.

Passo 4

Finalmente o terceiro par:
partial Qpartial z = e^ycos z, partial Rpartial y = e^ycos z
Portanto partial Q/partial z = partial R/partial y. Concluímos que nablatimesvec F=vec0 em R^3, logo vec F é conservativo.

Passo 5

Para encontrar o potencial varphi, integramos P em relação a x:
varphi(x,y,z) = integral P,dx = integrall(e^xsin y + e^zcos xr),dx = e^xsin y + e^zsin x + h(y,z),
onde h(y,z) é uma função a determinar.

Passo 6

Diferenciamos varphi em relação a y e igualamos a Q:
partialvarphipartial y = e^xcos y + partial hpartial y overset!= Q = e^xcos y + e^ysin z Longrightarrow partial hpartial y = e^ysin z
Integramos em y:
h(y,z) = integral e^ysin z,dy = e^ysin z + g(z),
com g(z) função de z somente.

Passo 7

Por fim, diferenciamos varphi em relação a z e igualamos a R:
partialvarphipartial z = e^zsin x + e^ycos z + g'(z) overset!= R = e^ycos z + e^zsin x Longrightarrow g'(z)=0
Logo g(z) é constante, que podemos desprezar. Portanto, um potencial é
varphi(x,y,z) = e^xsin y ;+; e^ysin z ;+; e^zsin x ;+; C

Resposta

vec F é conservativo e um potencial é
boxedvarphi(x,y,z)=e^xsin y + e^ysin z + e^zsin x + C

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