Por cada um dos seguintes campos vetoriais
, determine se
é conservativo. Se sim, calcule um potencial para
.
sen
)
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
com
Queremos verificar se
é conservativo (isto é, se existe potencial
tal que
) e, em caso afirmativo, encontrar
. Num domínio simplesmente conectado como
, isso equivale a checar se
e depois integrar.
Passo 2
Calculemos o primeiro par de mistas:
Como
, essa condição está satisfeita.
Passo 3
Agora o segundo par:
Também coincide, logo
.
Passo 4
Finalmente o terceiro par:
Portanto
. Concluímos que
em
, logo
é conservativo.
Passo 5
Para encontrar o potencial
, integramos
em relação a
:
onde
é uma função a determinar.
Passo 6
Diferenciamos
em relação a
e igualamos a
:
Integramos em
:
com
função de
somente.
Passo 7
Por fim, diferenciamos
em relação a
e igualamos a
:
Logo
é constante, que podemos desprezar. Portanto, um potencial é