Por cada um dos seguintes campos vetoriais vecF, determine se vecF é conservativo. Se sim, calcule um potencial para vecF.
vecF(x, y, z)=(y e^z+z, x e^z-23, x y e^z+x)

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
vec F(x,y,z)=l(P,Q,Rr) com P=y,e^z+z,; Q=x,e^z-tfrac23,; R=x,y,e^z+x
e pede para determinar se vec F é conservativo. Se for, devemos achar uma função potencial phi(x,y,z) tal que nablaphi=vec F. Para isso, vamos usar o critério de que, num domínio simplesmente conexo como R^3, vec F é conservativo se e somente se nablatimesvec F=0, e depois integrar componentes para obter phi.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais necessárias para verificar nablatimesvec F=0.
partial Ppartial y=e^z
partial Qpartial x=e^z
logo coincidem.
partial Ppartial z=y,e^z+1
partial Rpartial x=y,e^z+1
logo coincidem.
partial Qpartial z=x,e^z
partial Rpartial y=x,e^z
logo coincidem.
Como todos os pares partialiPj-partialjPi dão zero, temos nablatimesvec F=0 em R^3. Portanto vec F é conservativo.

Passo 3

Como vec F é conservativo, existe phi tal que
partial phipartial x=P=y,e^z+z
Integrando em x, obtemos
phi(x,y,z)=integrall(y,e^z+zr),dx = x,y,e^z+x,z + g(y,z),
onde g é uma função a determinar que não depende de x.

Passo 4

Impor a condição em y:
partial phipartial y = x,e^z + partial gpartial y =Q=x,e^z-tfrac23,
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partial gpartial y=-tfrac23 Longrightarrow g(y,z)=-tfrac23,y + h(z),
com h função só de z.

Passo 5

Impor a condição em z:
partial phipartial z = x,y,e^z+x + h'(z) =R=x,y,e^z+x,
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h'(z)=0 Longrightarrow h(z)=constante
Podemos tomar essa constante igual a zero.

Resposta

vec F é conservativo e uma função potencial é
phi(x,y,z)=x,y,e^z+x,z-tfrac23,y

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