Por cada um dos seguintes campos vetoriais
, determine se
é conservativo. Se sim, calcule um potencial para
.
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e pede para determinar se
é conservativo. Se for, devemos achar uma função potencial
tal que
. Para isso, vamos usar o critério de que, num domínio simplesmente conexo como
,
é conservativo se e somente se
, e depois integrar componentes para obter
.
Passo 2
Calcular as derivadas parciais necessárias para verificar
.
logo coincidem.
logo coincidem.
logo coincidem.
Como todos os pares dão zero, temos
em
. Portanto
é conservativo.
logo coincidem.
logo coincidem.
logo coincidem.
Como todos os pares
Passo 3
Como
é conservativo, existe
tal que
Integrando em
, obtemos
onde
é uma função a determinar que não depende de
.
Passo 4
Impor a condição em
:
logo
com
função só de
.
Passo 5
Impor a condição em
:
logo
Podemos tomar essa constante igual a zero.